Ejercicios de series

No hay azar ni fatídico destino que burlen, estorben o dobleguen la firmeza de un alma vigorosa.

Resumen

Serie geométrica

Σ ak^n-1

Clasificación según k:

  D  Osc  C  D   D 
------|------|------
     -1      1

Si |k| < 1 la serie converge y su suma es a/1-k.

Serie telescópica

Σ a_n / a_n = b_n - b_n+1.

Σ a_n converge <=> b_n converge y se cumple que Σ a_n = b₁ - L donde L = lim b_n+1.

Series de términos positivos

Comparación

a) Si a_n <= cb_n para n>=N		Σ a_n diverge => Σ b_n diverge Σ b_n converge => Σ a_n converge

b) Si lim a_n/b_n = k > 0		Σ a_n y Σ b_n son de la misma clase.

Para clasificar Σ a_n, basta con clasificar Σ b_n, donde b_n es equivalente a a_n.

D'Alembert

a) a_n+1/a_n <= k < 1 para n>=N a_n+1/a_n >= 1 para n>=N		=> Σ a_n converge. => Σ a_n diverge.

b) lim a_n+1/a_n = L		L < 1 => Σ a_n converge L > 1 => Σ a_n diverge L = 1⁺ => Σ a_n diverge L = 1 ó 1^- no la clasifica

Cauchy

n __ \\|a_n <= k < 1 para n>=N		=> Σ a_n converge.
n __ \\|a_n > 1 para n>=N		=> Σ a_n diverge.
n __ lim \\|a_n = L		L < 1 => Σ a_n converge L > 1 => Σ a_n diverge L = 1 => Σ a_n no la clasifica

Raabe

n(1 - a_n+1/a_n) >= 1+k para n >= N, k perteneciente a R⁺		=> Σ a_n converge.

n(1 - a_n+1/a_n) <= 1 para n >= N		=> Σ a_n diverge.

lim n(1 - a_n+1/a_n) = L		L < 1 => Σ a_n diverge L > 1 => Σ a_n converge L = 1 => no la clasifica L = 1^- => Σ a_n diverge

Series alternadas

Leibnitz

a_n >= 0
lim a_n = 0
a_n monótona decreciente

=> Σ (-1)ⁿa_n converge

Convergencia absoluta

Si Σ |a_n| converge => Σ a_n converge

Serie de potencias Σ a_nxⁿ

Determinación del radio de convergencia R

D'Alembert:		L = lim \|a_n+1/a_n\|
Cauchy:		n __ L = \\|a_n

L distinto de 0 => R = 1/L
L = +inf => R = 0
L = 0 => R = +inf

  D  ?  C  ?  D
-----|-----|-----
    -R     R

Se debe clasificar en x=R y x=-R

Series usuales de comparación

Armónica generalizada

Σ 1/n^k

k>1 converge
k<=1 diverge

Bertrand

          1
a_n = Σ -------
       n^k(Ln)^h

k>1 para todo h converge
k<1 para todo h diverge
k=1 si h > 1 converge
si h <= 1 diverge

Ejercicios

Σ 1/n!

Lo primero es calcular el lim a_n: si da distinto de 0 la serie es 
divergente, si da 0 puede ser convergente o no.  

lim 1/n! = 0

n! > 2ⁿ para todo n >= 4

=> 1/n! < 1/2ⁿ para todo n >= 4

Σ 1/2ⁿ converge (serie geométrica de constante 1/2) 
=> por el criterio de comparación Σ 1/n! converge

      __  
Σ 1/n^{\|2 - 1}

Es una serie armónica

 __
\|2 - 1 < 1  => diverge

     7n-2
Σ ----------- 
  n(n+2)(n+1)

   7n-2               7
----------- equiv. a --- 
n(n+2)(n+1)           n²

   1                                  7  
Σ --- converge => por distributiva Σ --- converge
   n²                                 n² 

      7n-2      
=> ----------- converge
   n(n+2)(n+1)

Σ Ln/n!

    a_n+1        L(n+1)n!       L(n+1)        1
lim ---- = lim -------- = lim ------- = lim --- = 0 < 1
     a_n        (n+1)!Ln        (n+1)Ln      n+1

=> por el criterio de D'Alembert converge.

Σ 1/Ln

    1
Σ ---- diverge
   nLn
   
Veamos si podemos aplicar el criterio de comparación:
	
1   ?  1
-- >= ---
Ln    nLn
                         ?  
Para eso debería ser Ln <= nLn 
                o sea 1 <= n

                   1     1
Así que para n>=1 -- >= ---  
                  Ln    nLn 

Por criterio de comparación Σ 1/Ln diverge.

Σ Ln/n²

    1
Σ ----- converge
  n(Ln)²
   
Veamos si podemos aplicar el criterio de comparación:
	
Ln  ?  1
-- <= ----
n²    n(Ln)²

Ln  ?  1
-- <= ----
n      Ln²

(Ln)³ <= n se cumple para todo n >= 7

Por criterio de comparación Σ Ln/n² converge.

   nⁿ
Σ ----
   e^eⁿ

Aplicaremos el criterio de Cauchy:

   n  __         n           n   
lim \|a_n = lim ------ = lim --- = 0 < 1 => converge
                 eⁿ/n        eⁿ  
               e            e
                       (eⁿ/n equiv. a eⁿ)

Σ (n² + 1)/n!

Aplicaremos el criterio de D'Alembert

    ((n+1)² + 1)n!       (n+1)²+1         n²
lim ------------- = lim ---------- = lim --- = 0 < 1 => converge
     (n+1)!(n²+1)       (n+1)(n²+1)       n³

         1             __
Σ (-1)ⁿ ---- L(1 + 1/ \|n)
          __         
        \|n

   __
1/\|n > 0 para todo n
          __                  __             __
L(1 + 1/ \|n) >= 0 si 1 + 1/ \|n >= 1 si 1/ \|n >= 0 
lo cual se cumple para todo n

=> a_n > 0 para todo n (1)

               1             __         1     1
lim a_n = lim ---- L(1 + 1/ \|n) = lim ----.---- = 0 (2)
               __ ------^------__       __   __
             \|n  equiv. a 1/\|n      \|n  \|n

Veremos si a_n es monótona decreciente, o sea, si a_n+1 < a_n (3)

  1             ___   ?   1            __
---- L(1 + 1/ \|n+1) <  ---- L(1 + 1/ \|n) 
  ___                     __       
\|n+1                    \|n 

  1  ?   1
---- < ----
  __     __
\|n+1  \|n
 
  ___ ?  __
\|n+1 > \|n  se cumple para todo n
                
           ___  ?           __
L(1 + 1/ \|n+1) < L(1 + 1/ \|n) 
         ___ ?          __   
1 + 1/ \|n+1 < 1 + 1/ \|n se cumple para todo n 

De 1), 2) y 3) por el criterio de Leibnitz, la serie converge.

   1
Σ ---- xⁿ
   neⁿ

Es una serie de potencias. Utilizaremos la fórmula de D'Alembert
para hallar el radio de convergencia.

                       neⁿ       1
lim |a_n+1/a_n| = lim |--------| = ---
                    (n+1)eⁿ⁺¹     e  

Radio de convergencia: e

Clasificaremos la serie para x=e y x=-e.

x=e

Σ 1/n diverge

x=-e

(-e)ⁿ = eⁿ(-1)ⁿ

   1
Σ ---(-1)ⁿ 
   n 

Es una serie alternada. 
Veremos si podemos aplicar el criterio de Leibnitz.

1) 1/n > 0 para todo n

2) lim 1/n = 0

3) 1/n monótona decreciente

 1     1
--- < --- pues n+1 > n
n+1    n

De 1), 2) y 3) por el criterio de Leibnitz, converge

  D  C  C  D  D
-----|-----|-----
    -e     e

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