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Resumen
Serie geométrica
Σ akn-1
Clasificación según k:
D Osc C D D
------|------|------
-1 1
Si |k| < 1 la serie converge y su suma es a/1-k.
Serie telescópica
Σ an / an = bn - bn+1.
Σ an converge <=> bn converge y se cumple que Σ
an = b1 - L donde L = lim bn+1.
Series de términos positivos
Comparación
| a) Si an <= cbn para n>=N |
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Σ an diverge => Σ bn diverge
Σ bn converge => Σ an converge
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| b) Si lim an/bn = k > 0 |
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Σ an y Σ bn son
de la misma clase.
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Para clasificar Σ an, basta con clasificar Σ bn,
donde bn es equivalente a an.
D'Alembert
a) an+1/an <= k < 1 para n>=N
an+1/an >= 1 para n>=N
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=> Σ an converge.
=> Σ an diverge.
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| b) lim an+1/an = L |
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L < 1 => Σ an converge
L > 1 => Σ an diverge
L = 1+ => Σ an diverge
L = 1 ó 1- no la clasifica
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Cauchy
n __
\|an <= k < 1 para n>=N
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=> Σ an converge.
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n __
\|an > 1 para n>=N
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=> Σ an diverge.
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n __
lim \|an = L
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L < 1 => Σ an converge
L > 1 => Σ an diverge
L = 1 => Σ an no la clasifica
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Raabe
n(1 - an+1/an) >= 1+k para n >= N,
k perteneciente a R+
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=> Σ an converge. |
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| n(1 - an+1/an) <= 1 para n >= N |
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=> Σ an diverge. |
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| lim n(1 - an+1/an) = L |
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L < 1 => Σ an diverge
L > 1 => Σ an converge
L = 1 => no la clasifica
L = 1- => Σ an diverge
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Series alternadas
Leibnitz
an >= 0
lim an = 0
an monótona decreciente
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=> Σ (-1)nan converge
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Convergencia absoluta
Si Σ |an| converge => Σ an converge
Serie de potencias Σ anxn
Determinación del radio de convergencia R
| D'Alembert: |
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L = lim |an+1/an|
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| Cauchy: |
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n __
L = \|an
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L distinto de 0 => R = 1/L
L = +inf => R = 0
L = 0 => R = +inf
D ? C ? D
-----|-----|-----
-R R
Se debe clasificar en x=R y x=-R
Series usuales de comparación
Armónica generalizada
| Σ 1/nk |
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k>1 converge
k<=1 diverge
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Bertrand
1
an = Σ -------
nk(Ln)h
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k>1 para todo h converge
k<1 para todo h diverge
k=1 si h > 1 converge
si h <= 1 diverge
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Ejercicios
Σ 1/n!
Lo primero es calcular el lim an: si da distinto de 0 la serie es
divergente, si da 0 puede ser convergente o no.
lim 1/n! = 0
n! > 2n para todo n >= 4
=> 1/n! < 1/2n para todo n >= 4
Σ 1/2n converge (serie geométrica de constante 1/2)
=> por el criterio de comparación Σ 1/n! converge
-
__
Σ 1/n\|2 - 1
Es una serie armónica
__
\|2 - 1 < 1 => diverge
-
7n-2
Σ -----------
n(n+2)(n+1)
7n-2 7
----------- equiv. a ---
n(n+2)(n+1) n2
1 7
Σ --- converge => por distributiva Σ --- converge
n2 n2
7n-2
=> ----------- converge
n(n+2)(n+1)
Σ Ln/n!
an+1 L(n+1)n! L(n+1) 1
lim ---- = lim -------- = lim ------- = lim --- = 0 < 1
an (n+1)!Ln (n+1)Ln n+1
=> por el criterio de D'Alembert converge.
Σ 1/Ln
1
Σ ---- diverge
nLn
Veamos si podemos aplicar el criterio de comparación:
1 ? 1
-- >= ---
Ln nLn
?
Para eso debería ser Ln <= nLn
o sea 1 <= n
1 1
Así que para n>=1 -- >= ---
Ln nLn
Por criterio de comparación Σ 1/Ln diverge.
Σ Ln/n2
1
Σ ----- converge
n(Ln)2
Veamos si podemos aplicar el criterio de comparación:
Ln ? 1
-- <= ----
n2 n(Ln)2
Ln ? 1
-- <= ----
n Ln2
(Ln)3 <= n se cumple para todo n >= 7
Por criterio de comparación Σ Ln/n2 converge.
-
nn
Σ ----
een
Aplicaremos el criterio de Cauchy:
n __ n n
lim \|an = lim ------ = lim --- = 0 < 1 => converge
en/n en
e e
(en/n equiv. a en)
Σ (n2 + 1)/n!
Aplicaremos el criterio de D'Alembert
((n+1)2 + 1)n! (n+1)2+1 n2
lim ------------- = lim ---------- = lim --- = 0 < 1 => converge
(n+1)!(n2+1) (n+1)(n2+1) n3
-
1 __
Σ (-1)n ---- L(1 + 1/ \|n)
__
\|n
__
1/\|n > 0 para todo n
__ __ __
L(1 + 1/ \|n) >= 0 si 1 + 1/ \|n >= 1 si 1/ \|n >= 0
lo cual se cumple para todo n
=> an > 0 para todo n (1)
1 __ 1 1
lim an = lim ---- L(1 + 1/ \|n) = lim ----.---- = 0 (2)
__ ------^------__ __ __
\|n equiv. a 1/\|n \|n \|n
Veremos si an es monótona decreciente, o sea, si an+1 < an (3)
1 ___ ? 1 __
---- L(1 + 1/ \|n+1) < ---- L(1 + 1/ \|n)
___ __
\|n+1 \|n
1 ? 1
---- < ----
__ __
\|n+1 \|n
___ ? __
\|n+1 > \|n se cumple para todo n
___ ? __
L(1 + 1/ \|n+1) < L(1 + 1/ \|n)
___ ? __
1 + 1/ \|n+1 < 1 + 1/ \|n se cumple para todo n
De 1), 2) y 3) por el criterio de Leibnitz, la serie converge.
-
1
Σ ---- xn
nen
Es una serie de potencias. Utilizaremos la fórmula de D'Alembert
para hallar el radio de convergencia.
nen 1
lim |an+1/an| = lim |--------| = ---
(n+1)en+1 e
Radio de convergencia: e
Clasificaremos la serie para x=e y x=-e.
x=e
Σ 1/n diverge
x=-e
(-e)n = en(-1)n
1
Σ ---(-1)n
n
Es una serie alternada.
Veremos si podemos aplicar el criterio de Leibnitz.
1) 1/n > 0 para todo n
2) lim 1/n = 0
3) 1/n monótona decreciente
1 1
--- < --- pues n+1 > n
n+1 n
De 1), 2) y 3) por el criterio de Leibnitz, converge
D C C D D
-----|-----|-----
-e e
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