Series

Un experto es una persona que ha cometido todos los errores que se pueden cometer en un determinado campo.
Bohr.

Series

Definición

Dada una sucesión a_n es posible formar una nueva sucesión S_n del siguiente modo:

S₁ = a₁
S₂ = a₁ + a₂
S₃ = a₁ + a₂ + a₃
S₄ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄
...
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n

La sucesión S_n se llama serie y se denota por

+inf
Σ_n=1 a_n o simplemente Σ a_n

Los elementos a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... de la sucesión original son los términos de la serie y S₁, S₂, S₃, ..., S_n, ... se denominan las sumas parciales de la serie.
Una serie es una sucesión de sumas parciales.

Clasificación de una serie

Si la sucesión S_n tiene límite finito S, la serie es convergente (converge a S). A S se le llama suma de la serie.
Si lim S_n = +inf o -inf se dice que la serie es divergente.
Si S_n no tiene límite, se dice que la serie es oscilante.

Nota: S_n es la sucesión de sumas parciales, no la sucesión a_n.

Propiedades de las series

Propiedad asociativa

En toda serie se pueden sustituir varios términos por su suma efectuada, sin que varíe el caracter ni la suma de la serie.

Nota:

La propiedad asociativa no es válida en series oscilantes.
La propiedad disociativa no es válida para series convergentes o divergentes.

Propiedad distributiva

H) Σ a_n converge y su suma es S
T) Σ ka_n converge y su suma es kS

Demostración:

S_n = Σ a_n
T_n = Σ ka_n

lim S_n = lim a₀ + a₁ + ... + a_n = S

lim T_n = lim ka₀ + ka₁ + ... + ka_n = lim k(a₀ + a₁ + ... + a_n) = kS

=> Σ ka_n converge y su suma es kS.

De manera análoga:

Si Σ a_n diverge, Σ ka_n también diverge.
Si Σ a_n es oscilante, Σ ka_n también es oscilante.

Propiedad aditiva

H) Sean S_n = Σ a_n y T_n = Σ b_n dos series convergentes con sumas S y T respectivamente.
T) La serie Σ a_n+b_n es convergente y su suma es S + T.

Demostración:

El término n-ésimo de la serie Σ a_n+b_n es S_n + T_n

lim S_n + T_n = lim S_n + lim T_n = S + T (por límite de una suma de sucesiones)

=> Σ a_n+b_n converge a S+T

Propiedad de linealidad

H) Sean S_n = Σ a_n y T_n = Σ b_n dos series convergentes con sumas S y T respectivamente, y sean h y k dos constantes.
T) La serie Σ ka_n+hb_n es convergente y su suma es kS + hT.

Demostración:

Σ a_n converge a S => por la propiedad distributiva, Σ ka_n converge a kS
Σ b_n converge a T => por la propiedad distributiva, Σ hb_n converge a hT

=> por la propiedad aditiva Σ ka_n+hb_n converge a kS + hT

Teorema

Condición necesaria para la convergencia

Es condición necesaria para que la serie Σ a_n sea convergente, que lim a_n = 0.

H) S_n = Σ a_n convergente
T) lim a_n = 0

Demostración:

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n-1 + a_n
S_n-1 = a₁ + a₂ + ... + a_n-1

a_n = S_n - S_n-1

S_n es convergente => lim S_n = lim S_n-1 = S

lim a_n = lim S_n - S_n-1 = S - S = 0

Nota: Este criterio es necesario pero no suficiente, es decir que, si el término n-ésimo tiende a 0, no se puede afirmar que la serie sea convergente.

Contraejemplo: Σ 1/n es divergente aunque lim a_n=0

Definición

Serie geométrica

Aquella cuyos términos forman una progresión geométrica. (Cada término es igual al anterior multiplicado por una constante).

Si llamamos a al primer término y k a la constante,
S_n = a + ak + ak² + ak³ + ... + ak^n-1 = Σ ak^n-1

Multipliquemos ambos miembros por k:
kS_n = ak +ak² + ak³ + ak⁴ + ... + akⁿ = Σ akⁿ

Restamos ambas ecuaciones:
S_n - kS_n = a - akⁿ

     (a-akⁿ)
S_n = ------- 
      (1-k)
      a    akⁿ
S_n = --- - ---
     1-k   1-k

Para |k| < 1 lim S_n = a/(1-k) pues kⁿ -> 0, la serie geométrica converge.
Para |k| > 1 la serie diverge pues kⁿ -> inf.
Para k = 1 la serie diverge pues S_n = na.
Para k = -1 la serie es oscilante.

  D  Osc  C  D   D 
------|------|------
     -1      1

Definición

Serie telescópica

Serie tal que cada término se expresa como una diferencia de la forma a_n = b_n - b_n+1.

Teorema

Suma de una serie telescópica

Sean a_n y b_n dos sucesiones tales que a_n = b_n - b_n+1.
La serie telescópica Σ a_n converge si y sólo si la sucesión b_n converge y se cumple que Σ a_n = b₁ - L donde L = lim b_n+1.

Demostración:

S_n = Σ a_n = Σ (b_n - b_n+1) = (b₁ - b₂) + (b₂ - b₃) + ... + (b_n - b_n+1) = b₁ - b_n+1

lim S_n = lim b₁ - lim b_n+1

Por lo tanto Σ a_n converge si y sólo si b_n converge, y en ese caso su suma es b₁ - L, donde L = lim b_n+1. (Si b_n diverge, Σ a_n también).

Ejemplo: S_n = Σ 1/(n² + n)

a_n = 1/(n² + n) = 1/n - 1/n+1

b_n = 1/n converge a 0

=> Σ 1/(n² + n) converge a 1 - lim 1/n+1 = 1

Series de términos positivos

Definición

Serie de términos positivos (STP)

Es una serie Σ a_n tal que a_n>=0 para todo n.
(La serie es siempre una sucesión creciente).

Ejemplo: Σ 1/2ⁿ

Criterios de convergencia para STP

Teorema previo

Una serie de términos positivos Σ a_n converge si y sólo si la sucesión de sus sumas parciales está acotada superiormente.

Demostración:

Directo:

Σ a_n converge => lim S_n = S => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε > 0 existe N / para todo n>N S - ε < S_n < S + ε
=> S_n está acotada superiormente.

Recíproco:

Σ a_n es monótona creciente por ser de términos positivos.

S_n < M para todo n

Toda sucesión monótona y acotada converge (ver teorema) => S_n converge

Ejemplo: Σ 1/n!

1/n! <= 1/2^n-1 para todo n>=1 pues n! >= 2^n-1 ya que n! es el producto de (n-1) factores mayores o iguales que 2.

Por lo tanto Σ 1/n! <= Σ 1/2^n-1 = Σ (1/2)^n-1 = 2 por ser una serie geométrica (a=1, k=1/2).

Por el teorema anterior Σ 1/n! converge y su suma es menor que 2.

Criterio de comparación

Sean Σ a_n y Σ b_n dos series de términos positivos.
Si existe una constante c > 0 tal que a_n <= cb_n para todo n, entonces la convergencia de Σ b_n implica la de Σ ab_n.

Demostración:

S_n = Σ a_n = a₁ + a₂ + ... + a_n
T_n = Σ b_n = b₁ + b₂ + ... + b_n

a_n <= cb_n para todo n

=> S_n <= c.T_n

Por hipótesis T_n = Σ b_n converge => (teorema) la sucesión de sus sumas parciales está acotada superiormente: T_n < M

=> S_n <= cT_n < cM

=> Σ a_n es convergente pues la sucesión de sus sumas parciales está acotada superiormente (teorema).

Nota: El teorema también es valido si a_n <= cb_n para todo n >= N.

Sean Σ a_n y Σ b_n dos series de términos positivos.
Si existe una constante c > 0 tal que a_n >= cb_n para todo n, entonces si Σ b_n diverge, Σ a_n también diverge.

Demostración:

S_n = Σ a_n
T_n = Σ b_n

Σ b_n diverge => lim T_n = +inf => lim cT_n = c.lim T_n = +inf

S_n >= cT_n => lim S_n = +inf => Σ a_n diverge.

Ampliación del criterio

Sean Σ a_n y Σ c_n dos series de términos positivos.
Σ a_n y Σ c_na_n convergen o divergen simultáneamente.

Criterio de comparación por paso al límite

Sean Σ a_n y Σ b_n dos series de términos positivos.
Si lim a_n/b_n = k > 0, entonces Σ a_n converge si y sólo si Σ b_n converge. (Σ a_n y Σ b_n son de la misma clase).

Demostración:

lim a_n/b_n = k > 0 => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε > 0 existe N / para todo n > N |a_n/b_n - k| < ε o sea k - ε < a_n/b_n < k + ε

Directo:

b_n < (1/(k-ε))a_n

=> por el criterio anterior, si Σ a_n converge, Σ b_n converge .

Recíproco:

a_n < (k+ε)b_n

=> por el criterio anterior, si Σ b_n converge, Σ a_n converge.

Si a_n y b_n son sucesiones equivalentes (lim a_n/b_n = 1) => por el teorema anterior, Σ a_n y Σ b_n son de la misma clase. Por lo tanto, para clasificar una serie de términos positivos Σ a_n, se puede sustituir a_n por su equivalente b_n.

Ejemplo:

    1           
Σ -----
  n(n+1)
	 
  1                1
----- es equiv. a ---
n(n+1)             n²

       1                    1 
=> Σ ----- converge pues Σ --- converge
     n(n+1)                 n²

Criterio de D'Alembert

H) Sea Σ a_n una serie de términos positivos.
a_n+1/a_n <= k < 1 para todo n >= N
T) Σ a_n converge.

Demostración:

a_n+1 <= ka_n (k<1) para todo n>=N.

a_N+1 <= ka_N
a_N+2 <= ka_N+1
...
a_n+1 <= ka_n

Multiplicamos: a_N+1.a_N+2.....a_n+1 <= k^n-N+1.a_N.a_N+1.....a_n

a_n+1 <= kⁿa_N/k^N-1

a_n+1 <= Hkⁿ donde H = a_N/K^N-1

k<1 => Σ kⁿ converge (es una serie geométrica) => por la propiedad distributiva Σ Hkⁿ converge => por el criterio de comparación Σ aⁿ converge

H) Sea Σ a_n una serie de términos positivos.
a_n+1/a_n >= 1 para todo n >= N
T) Σ a_n diverge.

Demostración:

a_n+1 >= a_n >= a_n-1 >= ... >= a_N > 0

a_n es creciente

a_n >= 0 para todo n

=> a_n no tiende a 0 => (por Condición necesaria para la convergencia) Σ a_n diverge.

Corolario de D'Alembert

H) Sea Σ a_n una serie de términos positivos.
lim a_n+1/a_n = L < 1
T) Σ a_n converge.

Demostración:

lim a_n+1/a_n = L => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε > 0 existe N / para todo n > N |a_n+1/a_n - L| < ε o sea L - ε < a_n+1/a_n < L + ε

Para que L + ε < 1 basta elegir ε < 1 - L

Para todo n>N a_n+1/a_n < L+ε < 1 => por el teorema anterior Σ a_n converge.

H) Sea Σ a_n una serie de términos positivos.
lim a_n+1/a_n = L > 1
T) Σ a_n diverge.

Demostración:

lim a_n+1/a_n = L => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε > 0 existe N / para todo n > N |a_n+1/a_n - L| < ε o sea L - ε < a_n+1/a_n < L + ε

Para que L - ε > 1 basta elegir ε < L - 1

Para todo n>N a_n+1/a_n > 1 => por el teorema anterior Σ a_n diverge.

Cuando el lim a_n+1/a_n = 1⁺ la serie Σ a_n diverge.

lim a_n+1/a_n = 1⁺ => a_n+1 >= a_n => el término general a_n no tiende a 0 => Σ a_n diverge.

Cuando lim a_n+1/a_n = 1^- D'Alembert no se aplica.

Σ 1/n

lim a_n+1/a_n = lim (1/n+1)/(1/n) = lim n/n+1 = 1^- y Σ 1/n diverge.

Σ 1/n²

lim a_n+1/a_n = lim (1/(n+1)²)/(1/n²) = lim n²/(n+1)² = 1^- y Σ 1/n² converge.

Criterio de Cauchy

H) Sea Σ a_n una serie de términos positivos.

   n  __
    \|a_n <= k < 1 para todo n >= N

T) Σ a_n converge.

Demostración:

n __
\|a_n <= k => a_n <= kⁿ

k<1 => Σ kⁿ converge => por el criterio de comparación Σ a_n converge.

H) Sea Σ a_n una serie de términos positivos.

   n  __
    \|a_n > 1 para todo n >= N

T) Σ a_n diverge.

Demostración:

n __
\|a_n > 1 =>

a_n > 1 => a_n no tiende a 0 => Σ a_n diverge.

Cauchy por paso al límite

H) Sea Σ a_n una serie de términos positivos.

      n  __
   lim \|a_n = L < 1

T) Σ a_n converge.

   n __
lim \|a_n = L => (por def. de límite finito de una sucesión)
                                           n __
para todo ε > 0 existe N / para todo n > N |\|a_n - L| < ε o sea
       n __  
L - ε < \|a_n < L + ε

Para que L + ε < 1 basta elegir ε < 1 - L

n __  
 \|a_n < L + ε < 1

=> por el teorema anterior Σ a_n converge.

H) Sea Σ a_n una serie de términos positivos.

      n  __
   lim \|a_n = L > 1

T) Σ a_n converge.

   n __
lim \|a_n = L => (por def. de límite finito de una sucesión)
                                           n __
para todo ε > 0 existe N / para todo n > N |\|a_n - L| < ε o sea
       n __  
L - ε < \|a_n < L + ε

Para que L - ε > 1 basta elegir ε < L - 1

n __  
 \|a_n > L - ε > 1

=> por el teorema anterior Σ a_n diverge.

Raabe

H) Sea Σ a_n una serie de términos positivos.
n(1 - a_n+1/a_n) >= 1+k para todo n >= N, k perteneciente a R⁺
T) Σ a_n converge.

Demostración:

Escribamos la desigualdad como: na_n - na_n+1 >= a_n + ka_n
Pasemos a_n para el lado izquierdo: (n-1)a_n - na_n+1 >= ka_n

La desigualdad se cumple para todo n>=N:
(N-1)a_N - Na_N+1 >= ka_N
Na_N+1 - (N+1)a_N+2 >= ka_N+1
...
(n-1)a_n - na_n+1 >= ka_n

Sumamos: (N-1)a_N - na_n+1 >= k(a_N + a_{N+1 + ... + a_n}) = k(S_n - H)

(donde H es la suma de los términos anteriores a a_N)

k(S_n - H) <= (N-1)a_N - na_n+1 < (N-1)a_N

S_n - H <= (N-1)a_N/k

S_n <= (N-1)a_N/k + H

La sucesión de sumas parciales está acotada superiormente => (teorema) Σ a_n converge.

H) Sea Σ a_n una serie de términos positivos.
n(1 - a_n+1/a_n) <= 1 para todo n >= N
T) Σ a_n converge.

Demostración:

Escribamos la desigualdad como: na_n - na_n+1 <= a_n
y luego como: na_n+1 >= (n-1)a_n

na_n+1 >= (n-1)a_n >= (n-2)a_n-1 >= ... >= (N-1)a_N

na_n+1 >= (N-1)a_N

a_n+1 >= H.1/n donde H = (N-1)a_N

Σ 1/n diverge => por distributiva Σ H.1/n diverge => por el criterio de comparación Σ a_n diverge.

Generalización por paso al límite

H) Sea Σ a_n una serie de términos positivos.
lim n(1 - a_n+1/a_n) = L > 1
T) Σ a_n converge.

Demostración:

lim n(1 - a_n+1/a_n) = L => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε > 0 existe N / para todo n > N L - ε < n(1 - a_n+1/a_n) < L + ε

Para que L - ε > 1 basta elegir ε < L - 1

Para todo n > N n(1 - a_n+1/a_n) > L - ε > 1 => por el teorema anterior Σ a_n converge.

H) Sea Σ a_n una serie de términos positivos.
lim n(1 - a_n+1/a_n) = L < 1
T) Σ a_n diverge.

Demostración:

lim n(1 - a_n+1/a_n) = L => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε > 0 existe N / para todo n > N L - ε < n(1 - a_n+1/a_n) < L + ε

Para que L + ε < 1 basta elegir ε < 1 - L

Para todo n > N n(1 - a_n+1/a_n) < L + ε < 1 => por el teorema anterior Σ a_n diverge.

Cuando lim n(1 - a_n+1/a_n) = 1^- la serie Σ a_n también diverge.

Definición

Sucesión contenida o subsucesión

a_{i_n} está contenida en a_n si _{i_n} es natural y lim _{i_n} = +inf

Ejemplo: a_n = n

1,2,3,4,5,6,...

Ejemplos de sucesiones contenidas:

a_2n: 2,4,6,...
a_2n-1: 1,3,5,...
a_10n: 10,20,30,...

Teorema

H) a_{i_n} y a_{i'_n} son sucesiones contenidas en a_n
lim a_{i_n} = lim a_{i'_n} = p
{_{i_n}} U {_{i'_n}} = {n/n > q}
T) lim a_n = p

Series alternadas

Definición

Son series de la forma: Σ (-1)ⁿ⁺¹.a_n donde a_n > 0
Sus términos son alternadamente positivos y negativos:
Σ (-1)ⁿ⁺¹.a_n = a₁ - a₂ + a₃ - a₄ + ... + (-1)^n-1.a_n

Criterio de Leibnitz

H) Σ (-1)ⁿ⁺¹.a_n, a_n>0
a_n -> 0
a_n monótona decreciente
T) Σ (-1)ⁿ⁺¹.a_n converge.

Demostración:

Consideremos las sumas parciales pares S_2n por un lado y las sumas parciales impares S_2n-1 por otro.

S_2n+2 - S_2n = a₁ - a₂ + ... - a_2n + a_2n+1 - a_2n+2 - (a₁ - a₂ + ... - a_2n)

= a_2n+1 - a_2n+2 > 0 => S_2n es creciente (1)

S_2n+1 - S_2n-1 = a₁ - a₂ + ... - a_2n + a_2n+1 - (a₁ - a₂ + ... + a_2n-1)

a_2n+1 - a_2n < 0 => S_2n-1 es decreciente (2)

(3) Para todo n S_2n < S_2n-1 pues S_2n-1 - S_2n = a_2n > 0

lim a_2n = 0 => lim S_2n - S_2n-1 = 0 => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε > 0 existe N / para todo n > N |S_2n-1 - S_2n - 0| < ε (4)

De 1), 2), 3) y 4) por definición de PSMC, (S_2n,S_2n-1) es un PSMC

=> por la propiedad de que todo PSMC tiene frontera, existe c perteneciente a R⁺ / lim S_2n = lim S_2n-1 = c

S_2n y S_2n-1 son sucesiones contenidas en S_n

Por el teorema anterior, lim S_n = c => Σ (-1)ⁿ⁺¹.a_n converge

Definición

Convergencia absoluta

Una serie Σ a_n es absolutamente convergente si Σ |a_n| converge.

Teorema

H) Σ a_n es absolutamente convergente.
T) Σ a_n converge.

Demostración:

Σ |a_n| converge por hipótesis

Consideremos b_n = (|a_n| + a_n)/2

Si a_n > 0 b_n = |a_n|

Si a_n < 0 b_n = 0

Como Σ a_n es una serie alternada (sus términos son alternadamente positivos y negativos), b_n valdrá 0 o |a_n|.

Por lo tanto, 0 <= b_n <= |a_n| => (por el criterio de comparación) Σ b_n converge

a_n = 2b_n - |a_n|

=> como Σ b_n y Σ |a_n| convergen, por la propiedad de linealidad Σ a_n converge.

Una serie convergente que no es absolutamente convergente se denomina condicionalmente convergente.

Ejemplo: Σ (-1)ⁿ⁺¹1/n converge pero Σ |(-1)ⁿ⁺¹1/n| diverge.

Σ (-1)ⁿ⁺¹1/n cumple con el criterio de Leibnitz.

Σ |(-1)ⁿ⁺¹1/n| = Σ 1/n que ya hemos visto que diverge.

Serie de potencias

Es una serie de la forma Σ a_nxⁿ.
Se puede demostrar que converge en un entorno simétrico de 0.

Determinación del radio de convergencia R

Para hallar el radio de convergencia podemos utilizar cualquiera de las siguientes fórmulas:

D'Alembert:

L = lim |a_n+1/a_n|

Cauchy:

    n  __
L =  \|a_n

L distinto de 0 => R = 1/L
L = +inf => R = 0
L = 0 => R = +inf

  D  ?  C  ?  D
-----|-----|-----
    -R     R

La serie se debe clasificar en x=R y x=-R.

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