Rara vez sabemos lo que somos capaces de hacer, hasta que nos ponemos a hacerlo.
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Variación

Definición

Crecimiento puntual

Una función f(x) es creciente en x=a si existe δ>0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) < f(a) y para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) > f(a).

    f es creciente en x=a.

Análogamente se define el decrecimiento puntual.

Teorema

Condición suficiente para el crecimiento puntual

Si en un punto a la función f(x) tiene derivada positiva, la función es creciente en a.

H) f'(a)>0
T) f es creciente en x=a.

Demostración:

            f(x) - f(a)
f'(a) = lim ----------- > 0 => (por teo. de conservación del signo)
        x->a   x - a
                                                 f(x) - f(a)
existe δ>0 / para todo x perteneciente al E*a,δ  ----------- > 0
                                                    x - a

1) Si x < a => x - a < 0 => f(x) - f(a) < 0 => f(x) < f(a)
2) Si x > a => x - a > 0 => f(x) - f(a) > 0 => f(x) > f(a)

De 1) y 2) por def. de crecimiento puntual,
f es creciente en x=a.

Teorema

Condición suficiente para el decrecimiento puntual

Si en un punto a la función f(x) tiene derivada negativa, la función es decreciente en a.

H) f'(a)<0
T) f es decreciente en x=a.

La demostración es análoga a la anterior.

Definición

Máximo relativo

f(x) presenta un máximo relativo en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) < f(a).

    f presenta un máximo relativo en x=a.

Definición

Mínimo relativo

f(x) presenta un mínimo relativo en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) > f(a).

    f presenta un mínimo relativo en x=a.

Teorema

Condición necesaria para la existencia de extremos relativos

Si una función f(x) es derivable en un punto a, es condición necesaria para que presente un extremo relativo en a que f'(a) valga 0.

H) f presenta un extremo relativo en x=a
    Existe f'(a)
T) f'(a)=0

Demostración:

Si f'(a) > 0 => por Cond. suf. para el crecimiento puntual f es creciente en x=a. Absurdo.

Si f'(a) < 0 => por Cond. suf. para el decrecimiento puntual f es decreciente en x=a. Absurdo.

=> f'(a) = 0.

Nota: El recíproco no es cierto. Una función puede tener derivada nula en un punto y no tener un extremo relativo en el punto.

Contraejemplo: f(x) = x3

    f'(0) = 0 pero f no presenta un extremo en 0.

Definición

Función monótona creciente en un intervalo.

f es monótona creciente en (a,b) si para todo x1 y para todo x2 pertenecientes a (a,b), tales que x1 < x2, se cumple que f(x1) < f(x2).

f es monótona creciente en [a,b] si es monótona creciente en (a,b) y para todo x perteneciente a (a,b) se cumple que f(a) < f(x) < f(b).

Análogamente se define función monótona decreciente.

Teorema

Condición suficiente para el crecimiento en un intervalo abierto

Si en un intervalo abierto (a,b) la función f(x) tiene derivada positiva, f(x) es creciente en (a,b).

H) f'(x)>0 para todo x perteneciente a (a,b)
T) f es creciente en (a,b)

Demostración:

Sean x1, x2 pertenecientes a (a,b), x1 < x2.
f es derivable en [x1,x2] => por teo. de Lagrange existe c perteneciente a [x1,x2] / 

        f(x2) - f(x1)  
f'(c) = ------------- > 0
           x2 - x1

x2 - x1 > 0 => f(x2) - f(x1) > 0 => f(x2) > f(x1) => por def. de función creciente en un intervalo f es creciente en (a,b).

Ejemplo

f:R+ -> R / f(x) = Lx

f'(x) = 1/x > 0 para todo x > 0 => f es creciente para todo x > 0.

     f(x) = Lx

Teorema

Condición suficiente para el decrecimiento en un intervalo abierto

H) f'(x)<0 para todo x perteneciente a (a,b)
T) f es decreciente en (a,b)

Demostración análoga a la anterior

Teorema

Condición suficiente para la existencia de mínimo relativo

Si una función es continua en un punto a, y existe un entorno de a tal que la derivada de f es negativa en el semientorno izquierdo y positiva en el semientorno derecho, entonces f presenta un mínimo relativo en a.

H) f es continua en x=a.
Existe δ>0 / para todo x perteneciente a (a-δ,a) f'(x)<0 y para todo x perteneciente a (a,a+δ) f'(x)>0 Signo de f'(x) en un entorno de a
T) f presenta un mínimo relativo en x=a.

Demostración

Sea x1 perteneciente a (a-δ,a).
f es derivable en [x1,a] por hipótesis.
=> por teo. de Lagrange existe c1 perteneciente a (x1,a) / 

          f(x1) - f(a)       
f'(c1) = ------------ < 0
            x1 - a

x1 - a < 0 => f(x1) > f(a) (1)

Sea x2 perteneciente a (a,a+δ).
f es derivable en [a,x2] por hipótesis.
=> por teo. de Lagrange existe c2 perteneciente a (a,x2) / 

         f(x2) - f(a)       
f'(c2) = ------------ > 0 
            x2 - a

x2 - a > 0 => f(x2) > f(a) (2)

De 1) y 2): para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > f(a) => por definición, f presenta un mínimo relativo en x=a

Ejemplo

f(x)=x2

f'(x)=2x

           -   0   +
sg 2x ---------|--------->
               0
      f(x) = x^2

f presenta un mínimo relativo en x=0. (En este caso, es también el mínimo absoluto de la función.)

Condición suficiente para la existencia de máximo relativo

H) f es continua en x=a.
Existe δ>0 / para todo x perteneciente a (a-δ,a) f'(x)>0 y para todo x perteneciente a (a,a+δ) f'(x)<0 Signo de f'(x) en un entorno de a
T) f presenta un máximo relativo en x=a.

La demostración es análoga a la anterior.

Ejemplo

f(x)=-x2

f'(x)=-2x

            +   0   -
sg -2x ---------|--------->
                0
      f(x) = -x^2

f presenta un máximo relativo en x=0. (En este caso, es también el máximo absoluto de la función.)


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Última modificación: noviembre 2004
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