El hombre sólo se conoce a sí mismo por la acción.
Goethe.

 

Derivada

Tangente a f(x) en a

Consideremos la tangente a la curva f(x) en el punto P(a,f(a)).
¿Cómo se obtiene el ángulo α entre la tangente y el eje x positivo?
El conocimiento de los valores a y f(a) no basta para determinarlo, puesto que hay un número infinito de rectas, aparte de la tangente, que pasan por P.
Tampoco es necesario conocer la función f(x) en su comportamiento global; el conocimiento de la función en una vecindad arbitraria del punto P debe ser suficiente para determinar α. Esto indica que se debería definir la dirección de la tangente a una curva f(x) mediante un proceso de límite.

Consideremos un segundo punto P'(x,f(x)) sobre la curva, cercano a P.
Por los dos puntos P y P' se traza una línea recta.
Si el punto P' se mueve a lo largo de la curva hacia el punto P, entonces la recta PP' se aproxima a la tangente.

Tangente y secante

Sea α' el ángulo que la recta PP' forma con el eje x positivo.

Entonces limP'->P α' = α

Considerando las coordenadas de los puntos P y P', se tiene:

          f(x) - f(a)          cateto opuesto  
tan α' =  -----------       ( ---------------- )
             x - a            cateto adyacente     

Así, nuestro proceso de límite está representado por la ecuación:

                          f(x) - f(a)
tan α = lim tan α' = lim  -----------
        x->a         x->a    x - a

A este límite se lo denomina derivada de la función f(x) en el punto a y se denota f'(a)

Definición

Derivada en el punto a

Se llama derivada de f(x) en x=a, y se denota f'(a) a:
            f(x) - f(a)
f'(a) = lim ----------- 
        x->a   x - a

Función derivada

La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada valor de x.

Teorema

Si una función es derivable, entonces es continua.

H) f es derivable en x=a.
T) f es continua en x=a.

Demostración:

Por hipótesis, existe

    f(x) - f(a)
lim ----------
x->a  x - a

=> existe f(a) (1)

                                    
lim f(x) = lim f(x) - f(a) + f(a) = 
x->a       x->a                     

     f'(a) por H)		   
    ------^------    0
    (f(x) - f(a)) --^--
lim -------------(x - a) + f(a) = f(a)  (2)		   
x->a    x - a

De 1) y 2): existe f(a) y limx->af(x)=f(a) => por definición de continuidad, f es continua en x=a.

El recíproco no es cierto. Una función puede ser continua en un punto pero no derivable. Cualquier curva con una esquina o vértice en un punto no posee ahí una tangente. Esos puntos se llaman singulares, y esas funciones, funciones singulares.

  
     3  ___
f(x)= \|x2 

no es derivable en x=0 pero es continua.

Derivada de las funciones elementales

  1. f(x) = k
    
                 k - k       
    f'(a) = lim ------- = 0 
            x->a x - a
    
    => f'(x) = 0
    
  2. f(x) = bx + c
                  
                bx + c - ba - c       b(x - a) 		  
    f'(a) = lim --------------- = lim -------- = b
            x->a     x - a        x->a  x - a
    
    => f'(x) = b
    
  3. f(x) = xn
             
                 xn - an 
    f'(a) = lim --------- = 
            x->a  (x-a)      
    
        (x - a)(xn-1 + axn-2 + a2xn-3 + ... + an-1) 
    lim ------------------------------------------ = nan-1
     x->a   (x-a)
    
    => f'(x) = nxn-1
    
  4. f(x) = bxn
            
                 bxn - ban        b(xn - an)
    f'(a) = lim ---------- = lim ----------- = bnan-1
            x->a  x - a      x->a   x - a
    
    => f'(x) = bnxn-1
    
  5. f(x) = Lx               equiv. a x/a - 1 (límites tipo)
                               --^--
                Lx - La        L(x/a)          x - a     1
    f'(a) = lim -------- = lim ------- = lim --------- = --
            x->a  x - a    x->a x - a    x->a a(x - a)   a
    
                1
    => f'(x) = ---
                x
    
  6. f(x)=logcx 
                                           logcd = Ld/Lc 
                                              | 
              logcx - logca        logc(x/a)  |    logc(x/a)    1
    f'(a)=lim ------------- = lim ---------- = lim --------- = ---
          x->a    x - a     | x->a  (x - a)    x->a Lc(x - a)  aLc
                            |                   
                 log a - log b = log(a/b)     
    
                1
    => f'(x) = ---
               xLc 
    
  7. f(x) = ex 
                                 equiv. a 1 (límites tipo)
                                    ---^---
                 ex - ea         ea(ex-a - 1) 
    f'(a) = lim --------- = lim ------------ =  ea
            x->a  x - a     x->a    x - a
    		
    => f'(x) = ex
    
  8. f(x) = bx
                             equiv. a (x-a)Lb (límites tipo)
                               ----^----     
              bx - ba        ba(bx-a - 1)       ba(x - a)Lb
    f'(a)=lim ------- = lim ------------ = lim ----------- = baLb
          x->a x - a    x->a   x - a       x->a   x - a
    
    => f'(x) = bxLb
    
  9. f(x) = sen x
                                equiv. a (x-a)/2 (límites tipo)
                                  -----^-----   
              senx - sena        2sen((x-a)/2)cos((x+a)/2)
    f'(a)=lim ------------ = lim ------------------------- =
          x->a   x - a       x->a         x - a
    
        2(x - a)cos((x+a)/2) 
    lim ------------------- = cos a
    x->a     2(x - a)
    
    => f'(x) = cosx
    
  10. f(x) = cosx
           
    	    cos x - cos a       -2sen((x-a)/2)sen((x+a)/2)
    f'(a) = lim ------------- = lim -------------------------- =
            x->a    x - a       x->a         x - a
    
        -2(x-a)sen((x+a)/2)
    lim ------------------- = -sen a
    x->a     2(x - a)
    
    => f'(x) = -senx
    
  11. f(x) = tgx
                                  1 (límites tipo)
                               ---^--- 
              tgx - tga (*)    tg(x-a)
    f'(a)=lim ---------- = lim ------- (1 + tgx.tga) = 1 + tg2a 
          x->a  x - a      x->a (x-a)
    	  
                          tgx - tga
    (*) Pues tg(x - a) = ------------
                          1 + tgx.tga
    					   
        sen2a    cos2a + sen2a    1
    1 + ------ = ------------- = ---- 
        cos2a         cos2a      cos2a
    
                          1
    => f'(x)=1 + tg2x = -------
                         cos2x
    
  12.       n  __
     f(x)= \|x
     
    n  __
     \|x = x1/n
    
                    1            x(1-n)/n       1        1
     f'(x)=(x1/n)'= --x1/n - 1 = ----------- = ------- = --------
                    n               n         nx(n-1)/n   n  ____
                                                        n \|xn-1
    
                    1
    => f'(x) =  ---------
                 n  ____
                n \|xn-1
    

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Última modificación: noviembre 2004
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