Querer es tener el valor de luchar contra los obstáculos.
Stendhal.

 

Sucesiones

Definición

Sucesión

Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe an en lugar de f(n).

Ejemplo:

an = 1/n

a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...

Definición

Sucesión monótona creciente

Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para todo n natural an <= an+1 (a1 <= a2 <= a3 <= ... <= an).

Ejemplo:

an = n es monótona creciente.

a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, ...

Definición

Sucesión monótona decreciente

Una sucesión es monótona decreciente si se cumple que para todo n natural an >= an+1 (a1 >= a2 >= a3 >= ... >= an).

Ejemplo:

an = 1/n es monótona decreciente.

a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...

Límite finito de una sucesión

Consideremos la sucesión an = 1/n.

a1 = 1
a2 = 1/2 = 0.5
a3 = 1/3 ≈ 0.33
a4 = 1/4 = 0.25
a5 = 1/5 = 0.2
a6 = 1/6 ≈ 0.17
a7 = 1/7 ≈ 0.14
a8 = 1/8 ≈ 0.12
a9 = 1/9 ≈ 0.11
a10 = 1/10 = 0.1

A medida que aumenta n, los términos de la sucesión son cada vez más cercanos a 0. Si representamos los términos como puntos en una línea, esto significa que los puntos an se apiñan cada vez más cerca del punto 0 conforme n crece.

Sucesión con límite 0

Se dice que an tiende a 0, o que tiene límite 0.
Se expresa simbólicamente por: lim an = 0 o bien, ocasionalmente, por la notación abreviada an -> 0.

Definición

Límite finito

lim an = a <=> para todo ε>0 existe N natural / para todo n > N a - ε < an < a + ε, o lo que es lo mismo, |an - a| < ε.

Para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un natural N suficientemente grande tal que a partir del índice N en adelante se tiene que |an - a| < ε.
Es decir, si tomamos un entorno de a de cualquier radio siempre habrá un subíndice N tal que desde N en adelante todos los términos de la sucesión pertenecen a dicho entorno.

Límite infinito de una sucesión

Consideremos la sucesión an = n2.

a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16
...
a10 = 100
...
a100 = 10.000

Al crecer n, an no tiende a un límite definido, sino que crece más allá de toda cota. Se dice que an tiende a infinito.

Definición

Límite infinito

lim an = +inf <=> para todo K>0 existe N natural / para todo n > N an > K.

Para cualquier número positivo K (tan grande como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que aN y todos los términos siguientes son mayores que K. Esto quiere decir que an puede hacerse mayor que cualquier cota, con tal de que n sea lo suficientemente grande.

Del mismo modo se define lim an = -inf <=> para todo K<0 existe N natural / para todo n > N an < K.

Definición

Convergencia y divergencia

Cuando una sucesión tiene límite finito a se dice que es convergente y converge a a.
Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.
Una sucesión que carece de límite se llama oscilante.

La sucesión an = 1/n converge a 0.
La sucesión an = n2 es divergente.
La sucesión an = sen n es oscilante, pues sus valores varían entre 1 y -1.

Propiedades del límite finito de sucesiones

Unicidad del límite

Si una sucesión tiene límite es único.

H) lim an = b
T) b es único

Demostración:

La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que an tiene dos límites distintos b y c.
Suponemos que b > c.

lim an = b => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe n1 natural / para todo n > n1 b - ε < an < b + ε;

lim an = c => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe n2 natural / para todo n > n2 c - ε < an < c + ε

Consideremos un ε tal que c+ε < b-ε, o sea ε < (b - c)/2

Sea N = max {n1,n2}

Para todo n > N se cumple

  • b - ε < an < b + ε
  • c - ε < an < c + ε

Absurdo, pues an no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.

Límite de la sucesión comprendida

Si una sucesión está comprendida entre otras dos que tienen igual límite, entonces tiene el mismo límite.

H) lim an = lim bn = p
    Para todo n > n0 an <= cn <= bn
T) lim cn = p

Demostración:

lim an = p => (por def. de límite de una sucesión) para todo ε1 > 0 existe n1 natural / para todo n > n1 p - ε1 < an < p + ε1

lim bn = p => (por def. de límite de una sucesión) para todo ε2 > 0 existe n2 natural / para todo n > n2 p - ε2 < bn < p + ε2

Sea N = max {n0, n1, n2}

Para todo n > N se cumple p-ε1 < an <= cn <= bn < p+ε2

p-ε1 < cn < p+ε2

Sea ε = min {ε1, ε2}

Para todo n > N p-ε < cn < p+ε

=> (por def. de límite de una sucesión) lim cn = p.

Operaciones con límites

El límite de la suma, producto y cociente de sucesiones se determina por las mismas reglas que para las funciones de variable continua. Las demostraciones son iguales, basta sustituir f(x) por an y considerar que la tendencia siempre es hacia +infinito. Aquí sólo demostraremos el límite de una suma. Para ver las demás reglas visitar la página sobre operaciones con límites.

Límite de la suma

Si dos sucesiones tienen límite finito, entonces su suma tiene límite finito y es igual a la suma de esos límites.

H) lim an = a, lim bn = b
T) lim an + bn = a + b

Demostración:

Queremos probar que, dado ε > 0, existe N > 0 tal que para todo n > N |(an + bn) - (a+b)| < ε.

Sea ε' = ε/2

lim an = a => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε' > 0 existe n0 natural / para todo n > n0 |an - a| < ε'.

lim bn = b => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε' > 0 existe n1 natural / para todo n > n1 |bn - b| < ε'.

Sea N = max {n0, n1}

Para todo n > N se cumple:

  • |an - a| < ε'
  • |bn - b| < ε'

=> |an - a| + |bn - b| < 2ε' = ε

|(an + bn) - (a+b)| = |(an - a) + (bn - b)| <= (*) |an - a| + |bn - b| < ε

(*) Desigualdad triangular: |x + y| <= |x| + |y|

Resumiendo, dado ε>0 existe N / para todo n > N |(an + bn) - (a+b)| < ε

=> (por def. de límite finito de una sucesión) lim an + bn = a + b

Definición

Sucesiones equivalentes

Dos sucesiones se dicen equivalentes cuando el límite de su cociente es 1.

Definición

Sucesión acotada

M es cota superior de la sucesión an si an < M para todo n.
m es cota inferior de la sucesión an si an > m para todo n.
Una sucesión es acotada si tiene tanto cota superior como inferior.

Teorema

Toda sucesión monótona y acotada converge.

H) an monótona
    Existen m y M / m < an < M para todo n.
T) lim an = b

Demostración:

Queremos probar que existe N / para todo n > N |an - b| < ε.

Supongamos que an es creciente (si suponemos que es decreciente, la demostración es análoga).

an < M para todo n

Es decir que el conjunto de todos los términos de la sucesión S = {a1, a2, a3, ...} tiene extremo superior (la menor de las cotas superiores), llamémosle b.

Sea ε>0

b - ε no es cota superior de S pues es menor que el extremo superior

=> existe N / aN > b-ε.

an es creciente => para todo n > N an >= aN => an > b-ε => -(an - b) < ε (1)


b+ε también es cota superior de S

=> para todo n an < (b+ε) => => an - b < ε (2)


=> De 1) y 2) para todo n > N |an - b| < ε

Teorema

Toda sucesión convergente es acotada.

H) an convergente
T) an acotada

Demostración:

an es convergente, eso significa que tiene límite finito: lim an = a

=> (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe N / para todo n > N a-ε < an < a+ε

=> (por def. de sucesión acotada) an está acotada.

Nota: El recíproco no es cierto. Que una sucesión esté acotada no implica que sea convergente.

Contraejemplo: an = (-1)n está acotada pero no es convergente.

-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, ...

Definición

Par de sucesiones monótonas convergentes

((an),(bn)) es un par de sucesiones monótonas convergentes si
a) an es creciente y bn decreciente.
b) Para todo n natural an <= bn
c) Para todo ε>0 existe h natural / bh - ah < ε

Par de sucesiones monótonas convergentes

Ejemplo:

an = -1/n, bn = 1/n

  • an es creciente.

    Debemos probar que an+1 >= an, o sea an+1 - an >= 0

    -1    -1    -n + n + 1     1
    --- - --- = ---------- = ------ > 0
    n+1    n      n(n+1)     n2 + n
    
  • bn es decreciente.

    Debemos probar que bn+1 <= bn, o sea bn - bn+1 >= 0

     1     1    n + 1 - n     1
    --- - --- = --------- = ------ > 0
     n    n+1     n(n+1)    n2 + n
    
  • Para todo n an < bn
    -1     1
    --- < --- pues -n < n para todo n.
     n     n
    
  • Dado ε>0, existe h / bh - ah < ε
     1    -1     2                          
    --- - --- = --- < ε 
     h     h     h                          
    

    Para que se cumpla basta tomar un h > 2/ε

    Propiedad

    Todo PSMC tiene frontera

    ((an),(bn)) es un PSMC => existe c / para todo n an <= c <= bn, lim an = c- y lim bn = c+.

    lim an = c- significa que an se aproxima a c por la izquierda, y lim bn = c+ significa que bn se aproxima a c por la derecha.

    Frontera de un PSMC

    El número e

    A menudo un número a se describe por medio de una sucesión infinita an de aproximaciones; esto es, el valor a está dado por el valor an con cualquier grado de precisión deseado si el índice n se elige suficientemente grande.

    Este es el caso del número e (e = 2,718281...), que puede definirse como el límite de la sucesión an = (1 + 1/n)n o de la sucesión bn = (1 + 1/n)n+1.

    Probaremos que estas sucesiones forman un PSMC.

  • an es creciente.

    Demostración:

    Utilizando la fórmula del binomio de Newton, podemos expresar (1+1/n)n como:

                                                              
                       n  n               n     n!        
    an = (1 + 1/n)n  = Σ Ci.1n-i.(1/n)i = Σ   ---------- 
                      i=0                i=0 (n-i)!i!ni   
    
                                                                
                           n+1 n+1                  n+1    (n+1)!
    an+1=(1 + 1/(n+1))n+1 = Σ  Ci.1n+1-i.(1/(n+1))i = Σ  ----------------
                           i=0                      i=0 (n+1-i)!i!(n+1)i
    

    El desarrollo de an+1 tiene un término más que el de an y cada término es positivo. Si probamos que cada sumando de an es menor o igual que el correspondiente de an+1 probaremos que an es creciente.

       n!       ?      (n+1)!
    ---------- <= ---------------
    (n-i)!i!ni    (n+1-i)!i!(n+1)i
    
    n(n-1)...(n-i+1)  ? (n+1)(n)...(n+1-i+1)  --> i factores
    ---------------- <= --------------------
        n.n....n         (n+1)(n+1)...(n+1)   --> i factores
    	
    (n-1)   (n-i+1)  ?  n    n+1-i+1
    -----...------- <= ---...-------
      n	   n       n+1     n+1
      
          1          i-1   ?       1          i-1
    (1 - ---)...(1 - ---) <= (1 - ---)...(1 - ---)
          n           n           n+1         n+1
    

    Cada factor es de la forma 1 - p/n donde p es el mismo en ambos miembros.

    1 - p/n < 1 - p/(n+1)

    Entonces cada factor del primer miembro es menor que el correspondiente del segundo.

    Por lo tanto, cada sumando del desarrollo de an es menor que el correspondiente de an+1.

    => an es creciente.

  • bn es decreciente.
    bn = (1 + 1/n)n+1
    bn+1 = (1 + 1/n+1)n+2 = (1 + 1/n+1)n+1.(1 + 1/n+1)
         ?
    bn+1 <= bn
                               ?
    (1 + 1/n+1)n+1.(1 + 1/n+1) <= (1 + 1/n)n+1
    
     (1 + 1/n)n+1   ?      1
    -------------- >= 1 + ---
    (1 + 1/n+1)n+1        n+1
    
       n+1/n   n+1   ?      1
    ( ------- )     >= 1 + ---
      n+2/n+1              n+1
    
      n2 + 2n + 1  n+1  ?      1
    ( ----------- )    >= 1 + ---
        n2 + 2n               n+1    
      
             1    n+1  ?      1
    ( 1 + ------- )   >= 1 + ---		
          n2 + 2n            n+1
    
    
    Desigualdad de Bernoulli: (1+p)q >= 1 + pq si p>=-1 y q>1
    
             1    n+1          n+1
    ( 1 + ------- )   >= 1 + -------		
          n2 + 2n            n2 + 2n
    	  
          n+1  ?       1  
    1 + ------ >= 1 + ---
        n2 + 2n       n+1
    	
      n+1   ?   1
    ------- >= ---
    n2 + 2n    n+1
    
    n2 + 2n + 1 > n2 + 2n se cumple para todo n.
    
  • Para todo n an < bn
    an = (1 + 1/n)n
    bn = (1 + 1/n)n+1
    
            ?
    bn - an > 0
                          ?
    (1+1/n)n+1 - (1+1/n)n > 0
    

    Sacamos factor común:

    (1+1/n)n(1+1/n - 1) = 1/n(1+1/n)n > 0 para todo n >= 1.
    
  • Dado ε>0 existe n natural / bn - an < ε
                                   (1)      (2)
    bn - an = 1/n(1+1/n)n = (1/n)an < (1/n)bn < (1/n)b1 = (1/n)4 < ε
    

    (1) an < bn
    (2) bn decreciente

    Basta elegir n > 4/ε

    Por lo tanto, an y bn forman un PSMC. El elemento frontera es el número e.

    n=1:      2 < e < 4
    n=2:   2,25 < e < 3,375
    n=3:   2,37 < e < 3,16
    n=4:   2,44 < e < 3,05
    ...
    n=100: 2,70 < e < 2,73
    

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    Última modificación: mayo 2005
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