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Teoremas de Cauchy y L'Hôpital

Teorema de Cauchy

Augustin Cauchy (1789-1857)

H) f(x) y g(x) continuas en [a,b]
    f(x) y g(x) derivables en (a,b)
    f'²(x) + g'²(x) distinto de 0 para todo x perteneciente a (a,b)
    (Las derivadas no se anulan en el mismo punto del intervalo.)
    g(a) distinto de g(b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(c)/g'(c)

Demostración:

Sea h(x) = f(x) + kg(x)

1. h es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b].
2. h es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables en (a,b).
3. Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle.

=> f(a) + kg(a) = f(b) + kg(b)
k(g(a) - g(b)) = f(b) - f(a)
k = (f(b) - f(a))/(g(a) - g(b))

De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle existe c perteneciente a (a,b) / h'(c) = 0.

h'(x) = f'(x) + kg'(x)
h'(c) = f'(c) + kg'(c) = 0
f'(c)/g'(c) = -k
f'(c)/g'(c) = (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a))

Teorema de L'Hôpital

François Antoine de L'Hôpital (1661-1704)

H) lim_x->a f(x) = lim_x->a g(x) = 0
    Existe lim_x->a f'(x)/g'(x)
T) lim_x->a f(x)/g(x) = lim_x->a f'(x)/g'(x)

Demostración:

Por H) existe f'(x) y g'(x) en un E^*_a => f y g son derivables en un E^*_a => (teorema) f y g son continuas en E^*_a

A f(a) y g(a) les adjudicamos el valor 0 en a porque si son discontinuas en a es una discontinuidad evitable.

f(a) = g(a) = 0

Supongo lim_x->a f'(x)/g'(x) = b => por definición de límite para todo E_b existe un E^*_a / para todo x perteneciente al E^*_a f'(x)/g'(x) pertenece al E_b.

Sea x perteneciente a un E^*_a
f y g son continuas en [x,a] y derivables en (x,a) => por el teorema de Cauchy existe c perteneciente a (x,a) / (f(a) - f(x))/(g(a) - g(x)) = f'(c)/g'(c)
o sea f(x)/g(x) = f'(c)/g'(c)

c pertenece a un E^*_a => f'(c)/g'(c) pertenece a un E_b => f(x)/g(x) pertenece al E_b.

=> lim_x->a f(x)/g(x) = b => lim_x->a f(x)/g(x) = lim_x->a f'(x)/g'(x).

Ejemplo

    2x - 2
lim ------  es una indeterminación 0/0.
x->1  Lx
                
Derivemos el numerador y el denominador y veamos el límite:
       2                                 2x - 2
lim ------- = 2   => por L'Hôpital   lim ------ = 2   
x->1  1/x                            x->1  Lx  

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