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Reglas de derivación

Teorema

Derivada de una constante por una función

H) f es derivable en x=a
T) (kf(a))' = k.f'(a)

Demostración:

                                              f'(a)
                                         ------^------    
                 k.f(x) - k.f(a)         (f(x) - f(a))
(k.f(a))' = lim ---------------- = lim k ------------- = k.f'(a)
            x->a      x - a        x->a      x - a  

• El teorema anterior da el valor de la derivada en el punto a. Como a es un punto genérico, lo sustituimos por x y tenemos la función derivada:
  (kf)'(x) = k.f'(x), si f es derivable en x.

Teorema

Derivada de la suma

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función.

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f+g es derivable en x=a
    (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)

                (f+g)(x) - (f+g)(a)       f(x) + g(x) - f(a) - g(a)
(f+g)'(a) = lim ------------------- = lim -------------------------
            x->a      (x-a)           x->a         (x-a)
			
                f(x) - f(a)    g(x) - g(a)
          = lim ----------- + ------------ = f'(a) + g'(a)
            x->a   (x-a)          (x-a)

• En general (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x), si f y g son derivables en x.
• El teorema se extiende a más de dos funciones.

Ejemplo

(x + Lx)' = x' + (Lx)' = 1 + 1/x

Teorema

Derivada del producto

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f.g es derivable en x=a
    (f.g)'(a) = f'(a).g(a) + f(a).g'(a)

                (f.g)(x) - (f.g)(a)       f(x).g(x) - f(a).g(a)
(f.g)'(a) = lim ------------------- = lim --------------------
            x->a      (x-a)           x->a       (x-a)

      f(x).g(x) - f(a)g(a) + f(a)g(x) - f(a)g(x)
= lim ------------------------------------------ =
  x->a                 (x-a)

             f'(a)               g'(a)
(*) g(a) -----^-----         -----^-----
    -^- (f(x) - f(a))       (g(x) - g(a))
lim g(x)------------- + f(a)------------- = f'(a).g(a) + g'(a).f(a)
x->a        (x-a)               (x-a)

(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a
=> (def. de continuidad) existe g(a) y lim_x->ag(x)=g(a).

Notas:

• (f.g)'(x) = f'(x).g(x) + f(x).g'(x).
• Generalización para tres funciones:

  (f(x).g(x).h(x))' = f'(x).g(x).h(x) + f(x).g'(x).h(x) + f(x)g(x).h'(x)

Ejemplo

(x².sen x)' = 2xsen x + x²cos x

Teorema

Derivada del cociente

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a, g(a) distinto de 0
T) f/g es derivable en x=a
    (f/g)'(a) = (f'(a).g(a) - f(a).g'(a))/g²(a)

Demostración:

                (f/g)(x) - (f/g)(a)       f(x)/g(x) - f(a)/g(a)
(f/g)'(a) = lim ------------------- = lim ---------------------
            x->a       x - a          x->a        x - a

      f(x)g(a) - g(x)f(a) + f(a)g(a) - f(a)g(a)
= lim ----------------------------------------- =
  x->a             (x - a)g(x)g(a)

             f'(a)               g'(a)
         -----^-----         -----^-----
        (f(x) - f(a))       (g(x) - g(a))
    g(a)------------- -  f(a)-------------    g(a)f'(a) - f(a)g'(a)
lim         x - a               x - a       = --------------------
x->a ------------------------------------          g2(a)
              g(x)g(a)
               '--> g(a) (*)     

(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a
=> (def. de continuidad) existe g(a) y lim_x->ag(x)=g(a).

• (f/g)'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/g²(x).

Ejemplo

              (cos x)x2 - (sen x)2x   xcos x - 2sen x
(sen x/x2)' = --------------------- = ---------------
                        x4                  x3

Teorema

Derivada de la función compuesta

Regla de la cadena

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=f(a)
T) gof es derivable en x=a
    (gof)'(a) = g'[f(a)].f'(a)

Demostración:

                               g[f(x)] - g[f(a)]
(gof)'(a) = [g[f(x)]'(a) = lim ----------------- =
                           x->a     x - a

            g'[f(a)]        f'(a)
     --------^--------	 ----^----
     g[f(x)] - g[f(a)]   f(x) - f(a)
lim ------------------ . ---------- = g'[f(a)].f'(a)
x->a   f(x) - f(a)         x - a

• (gof)'(x) = g'[f(x)].f'(x).

Ejemplo 1

h(x) = e^{x2 + 2x}

h es la composición de g(x) = e^x y f(x)=x² + 2x.

h'(x) = g'[f(x)].f'(x) = e^x2+2x.(2x + 2)

Ejemplo 2

h(x) = sen(x²)

h es la composición de g(x)=sen x y f(x)=x².

h'(x) = g'[f(x)].f'(x) = cos (x²).2x

Teorema

Derivada de la función inversa

H) f es derivable en x=a (f'(a) distinto de 0)
    f^-1(x) es continua en f(a)
T) f^-1 es derivable en x=f(a).
    [f^-1(f(a))]' = 1/f'(a)

Demostración:

Queremos calcular

    f-1(x) - f-1(f(a))         f-1(x) - a
lim ----------------- = lim   ------------
x->f(a)  x - f(a)       x->f(a) x - f(a)

Definamos g(x)=(f(x) - f(a))/(x - a) para todo x distinto de a.

Consideremos (gof^-1)(x) / (gof^-1)(x) = g[f^-1(x)]

1) lim f-1(x) = a pues f-1(x) es continua en f(a) por H)
   x->f(a)
                  f(x) - f(a) 
2) lim g(x) = lim ----------- = f'(a) pues f es derivable en a 
   x->a       x->a   x - a                               por H)

=> De 1) y 2) por límite de la función compuesta

lim g[f-1(x)] = f'(a)
x->f(a)

            f[f-1(x)] - f(a)   x - f(a) 
g[f-1(x)] = ---------------- = ----------  
               f-1(x) - a      f-1(x) - a     

         f-1(x) - a	 1 	 	   
=> lim  ------------ = -----
   x->f(a) x - f(a)    f'(a)

• (f^-1)'(f(x)) = 1/f'(x).

Ejemplo

            
            f       
Ly = x ----------> ex = y     
       <---------- 
            f-1

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