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Cálculo de límites

Polinomios

Ver página sobre límites de polinomios por detalles.

lim_x->a P(x) = P(a)

Ejemplo: lim_x->2 x² - 3x + 4 = 2

lim_x->inf P(x) = lim_x->inf a_nxⁿ

Ejemplo: lim_x->+inf -3x³ + x² - 2x + 1 = lim_x->+inf -3x³ = -inf

     A(x)    |    A(α)
lim  ---- =  | 1) ----  si B(α)≠0
x->α B(x)    |    B(α)
             | 2) inf si B(α)=0 y A(α)≠0
             | 3) INDETERMINADO de la forma 0/0
             |    si B(α)=0 y A(α)=0

Ejemplos:

        x2 - 1    3
1) lim  ------- = --
   x->2 3x - 4    2

        x2 - 1    3
2) lim -------- = -- = +inf
   x->2  x - 2    0

       -2x2 + 5x - 2    0
3) lim -------------- = --  INDETERMINADO
   x->2 3x2 - 2x - 8    0

Para resolverlo, expresamos cada polinomio como un producto y simplificamos los factores comunes. Para ello, bajamos cada polinomio por Ruffini.

-2x² + 5x - 2 = (x - 2)(-2x + 1)

x² - 2x - 8 = (x - 2)(3x + 4)

  
    -2x2 + 5x - 2        (x - 2)(-2x + 1)   -3
lim -------------- = lim ---------------- = ---
x->2 3x2 - 2x - 8    x->2 (x - 2)(3x + 4)    10

       A(x)          anxn
lim    ---- = lim    ----
x->inf B(x)   x->inf bmxm

Ejemplo:

       3x3 + 2x2 - 5            3x3     3
lim    -------------- = lim    ----- = --
x->+inf  2x3 - 8x2      x->+inf 2x3     2

Raíces de polinomios

Si el límite da indeterminado, aplicar el siguiente truco:

      ____     ____           P(x) - Q(x)
lim \|P(x) - \|Q(x) = lim ----------------
                             ____     ____                      
                           \|P(x) + \|Q(x))

Se llama expresión conjugada de

  __    __        __    __
\|a - \|b    a  \|a + \|b

Multiplicando y dividiendo por la conjugada, obtenemos la diferencia de las cantidades subradicales.

                                             ____     ____
      ____     ____         ____     ____ (\|P(x) + \|Q(x))
lim \|P(x) - \|Q(x) = lim \|P(x) - \|Q(x) ----------------- =
                                             ____     ____
                                          (\|P(x) + \|Q(x))
       P(x) - Q(x)
lim ----------------
      ____     ____
    \|P(x) + \|Q(x))

Ejemplo:

                                (IND. inf - inf)
      ___________     __________ |  
lim \|x2 + 2x - 3 - \|x2 + x - 1 = 
x->-inf
                                     __________      __________
       ___________     __________ (\|x2 + 2x - 3 + \|x2 + x - 1)
lim  \|x2 + 2x - 3 - \|x2 + x - 1  ---------------------------- = 
x->-inf                              __________      __________ 
                                  (\|x2 + 2x - 3 + \|x2 + x - 1)

       x2 + 2x - 3 - (x2 + x - 1)           x - 2
lim   ----------------------------- = lim ---------------------- = 
x->-inf  __________      __________      __________      __________
       \|x2 + 2x - 3 + \|x2 + x - 1     \|x2 + 2x - 3 + \|x2 + x - 1

            x                   x               x    -1
lim     ----------- = lim    ------- = lim     --- = --
x->-inf   __     __   x->-inf -x - x   x->-inf -2x    2
        \|x2 + \|x2	
	

Raíz cúbica

   3  ____   3  ____       
lim \|P(x) -  \|Q(x) = 

                       3  ____    3  ____   3  _______
   3  ____   3  ____  ( \|P(x)2 +  \|Q(x)2 + \|P(x)Q(x) )
lim \|P(x) -  \|Q(x)   -------------------------------- =
                       3  ____    3  ____   3  _______ 
                      ( \|P(x)2 +  \|Q(x)2 + \|P(x)Q(x) )   

            P(x) - Q(x)       
lim  ------------------------------
    3  ____    3  ____   3  _______ 
     \|P(x)2 +  \|Q(x)2 + \|P(x)Q(x)
	

Ejemplo:

                                     (IND. inf - inf)
       3  ____________  3  ___________ |
lim 2 + \|x3 - 3x2 + 1 - \|x3 - 4x + 1 = 
x->-inf

           x3 - 3x2 + 1 - x3 + 4x - 1
2 + lim   ----------------------------------------------------- = 
  x->-inf 3  __________    3  _________   3 ___________________
           \|(x3-3x2+1)2 +  \|(x3-4x+1)2 + \|(|x3-3x2+1)(x3-4x+1)

           -3x2 
2 + lim   ---- = 2 - 1 = 1
   x->-inf 3x2

Indeterminación 0/0

• Si se trata de un cociente de polinomios, aplicar Ruffini como se explicó antes.
• Aplicar límites tipo.

  Ejemplo:

          
      L(1 + 5x)        5x   5
  lim --------- = lim  -- = --
  x->0   2x    |  x->0 2x   2
               |
             IND. 0/0
             Límite tipo: L(1 + f(x)) equiv. f(x)
                          f(x)->0   
  

• Aplicar L'Hôpital:

  H) lim_x->a f(x) = lim_x->a g(x) = 0
      Existe lim_x->af'(x)/g'(x)
  T) lim_x->af(x)/g(x) = lim_x->af'(x)/g'(x)

  Ejemplo:

      2x - 2
  lim ------  INDETERMINADO 0/0
  x->1  Lx
              2                2x - 2   
  Veamos lim ---- = 2  =>  lim ------ = 2
         x->1 1/x          x->1  Lx
  

Indeterminación 1^inf

        g(x)    lim g(x)(f(x) - 1)
lim f(x)    = e x->a
x->a

Ejemplo:

                      (IND. 1inf)
                            |               x + 5   
                      x + 2 |   lim (x + 2)(----- - 1)
lim  ((x + 5)/(x - 3))      = e x->+inf     x - 3      =
x->+inf 
              8               8x
  lim (x + 2)---- =   lim     -- =   8 
e x->+inf    x - 3  e x->+inf x     e  

Indeterminaciones 0⁰ e inf⁰

        g(x)    lim  g(x)Lf(x)
lim f(x)    = e x->a
x->a

Ejemplo:

     (IND 00)     (IND. 0.inf)       (por órdenes de infinitos)
        |             |          Lx    |    
     2x |    lim 2xLx |    lim  -----  |   0
lim x   =  e x->0+    =  e x->0+ 1/2x  =  e  = 1
x->0+
                          (IND. inf0)
                               |
                          1/x  |              
lim  ((1 + x + 2x2)/(x - 1))   =
x->+inf                              (IND. inf/inf)
                                        |
  lim     (1/x)L((1 + x + 2x2)/(x - 1)) |   0
e x->+inf                               =  e  = 1 
                                              |    
                                     (por órdenes de infinitos)   

Indeterminaciones inf - inf e inf/inf

• Aplicar límites tipo

  Ejemplo:

          equiv. a 1/x + 1  
              --^--   
                1/x              (2x - 1)(1 + x) - 2x2       
  lim  (2x - 1)e   - 2x = lim    -------------------- = 
  x->+inf                 x->+inf       x            
  
        x - 1              x
  lim   -----  =  lim     --- = 1 
  x->+inf x       x->+inf  x
  

• Aplicar órdenes de infinitos. Equivalente al de mayor orden.

  orden Lx < orden xⁿ < orden a^x < orden x^nx (x->+inf)

  Ejemplo:

                   (IND. inf - inf)
                          |
  lim  (Lx)2 - (x - 1)2/x = -inf 
  x->0+              
                 pues orden (x - 1)2/x > orden (Lx)2      
  
             (IND. inf/inf)
          ex  |
  lim    ---- = +inf    pues orden ex > orden x
  x->+inf  x
  

Indeterminación 0.inf

• Pasar la expresión que tiende a 0 al denominador del denominador. Queda una indeterminación inf/inf. Resolverla aplicando órdenes de infinitos.

  Ejemplo:

                   (IND. 0.inf)            (IND. inf/inf)
                         |        1/(x - 3)  |
               1/(x - 3) |       e           |
  lim (3 - x)e           = lim   --------    =  -inf
  x->3+                    x->3+ 1/(x - 3)
  
  			         (por órdenes de infinitos)
  

• Aplicar límites tipo

Límites tipo

• es un término que multiplica o divide a toda la expresión
• es una cantidad subradical aunque aparezcan suma de radicales
• es una expresión afectada por una función trascendental (e, L, sen, cos, tg, etc.)

lim    (1 + 1/x)x = e
x->inf

lim  (1 + x)1/x = e
x->0

    L(1 + x)
lim -------- = 1   =>   L(1 + x) equiv x
x->0   x                x->0 

También: Lx equiv x - 1  
         x->1             

    ex - 1
lim ------- = 1    =>   ex - 1 equiv x
x->0   x                x->0

     ax - 1
lim  ------ = La   (a perteneciente a R+) => ax - 1 equiv xLa
x->0    x                                    x->0       

    sen x  
lim ----- = 1      =>   sen x equiv x
x->0  x                 x->0

    tg x
lim ---- = 1       =>   tg x equiv x
x->0  x                 x->0

    1 - cos x    1
lim ---------- = --     =>   1 - cos x equiv x2/2
x->0    x2        2          x->0   

    (1 + x)m - 1
lim ------------- = 1   =>   (1 + x)m - 1 equiv mx
x->0      mx                  x->0
 
    n  ______                  n  _____            
     \|1 + x  - 1   1           \|1 + x  - 1          
lim ------------- = --  => lim  ------------ = 1 
x->0      x         n      x->0    x/n             
  n  _____
=> \|1 + x - 1 equiv x/n  		

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