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Teorema de BolzanoAntes de enunciar el teorema de Bolzano, veamos una definición y una propiedad relativas a sucesiones, que se emplearán en la demostración de dicho teorema. (Por más detalles, visitar la página sobre sucesiones). Definición: Par de sucesiones monótonas convergentes (PSMC)
((an),(bn)) es un PSMC <=> Propiedad: Todo PSMC tiene frontera
((an),(bn)) es un PSMC => existe c / para todo n Teorema de BolzanoBernhard Bolzano (1781-1848)
Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y f(a) y f(b) son de distinto
signo, existe por lo menos un punto entre a y b para el cual f(c)=0. Geométricamente, el teorema establece que si dos puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) de la gráfica de una función continua están situados en diferentes lados del eje x, entonces la gráfica intersecta al eje en algún punto entre a y b. Por supuesto que pueden haber varias intersecciones. Demostración: Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0. (La demostración sería análoga si supusiéramos f(a)>0 y f(b)<0.)
Consideremos el punto medio de [a,b]: (a+b)/2. Tomemos una de las mitades del intervalo [a,b] donde la función sea negativa en un extremo y positiva en el otro. Llamemos a1 y b1 a los extremos de este intervalo. Ahora dividamos [a1,b1] a la mitad. Si f no vale cero en el punto medio, será positiva o negativa. Tomemos la mitad donde f tiene distinto signo en cada extremo, y llamemos a estos puntos a2 y b2.
Si continuamos de esta manera, obtenemos una sucesión de intervalos [a,b], [a1,b1], [a2,b2], etc.,
tales que Es decir, Veamos cuál es el limn->+inf bn - an.
bn - an es la longitud del intervalo [an,bn].
De modo que, 1), 2) y 3) son las condiciones de la definición de PSMC:
Todo PSMC tiene la propiedad de definir un número frontera entre ambas sucesiones.
((an),(bn)) es un PSMC => existe c / para todo n
lim an = c- significa que para todo δ>0 existe n1 / para todo n>=n1
O sea que tomando el mayor entre n1 y n2, llamémosle n3, se cumplen ambas cosas. Esto significa que, para cualquier entorno de c que consideremos, existe un intervalo [an,bn] contenido en dicho entorno. Por otro lado, f es continua en [a,b] por hipótesis. Por lo tanto es continua en c. Por definición de continuidad, limx->c f(x)=f(c). Si f(c)<0, por teo. de conservación del signo existe un entorno de c donde f(x) es negativa.
Dentro de este entorno, existe un intervalo [an,bn], donde f(an) es de distinto signo que f(bn). Esto es una contradicción, por lo tanto Si f(c)>0, por teo. de conservación del signo existe un entorno de c donde f(x) es positiva. Pero, otra vez, dentro de ese entorno existe un intervalo [an,bn] tal que f(an) es de distinto signo que f(bn). Por lo tanto, no existe otra posibilidad: f(c)=0. Propiedad de DarbouxGaston Darboux (1842-1917)
Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y k es cualquier número
entre f(a) y f(b), entonces existe un valor d entre a y b para el cual f(d)=k. Sea g una función auxiliar: g(x) = f(x) - k.
=> de 1), 2) y 3) por teorema de Bolzano, existe d perteneciente a (a,b) / O sea, existe d perteneciente a (a,b) / f(d)=k. |
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Última modificación: noviembre 2004 Página principal Tabla de contenidos E-mail |