Dominio
Dominio de f: R
Continuidad y asíntotas verticales
f es continua para todo x real.
Ceros y signo
Para simplificar el estudio de f, vamos a eliminar el valor absoluto y la función signo.
Para ello, veamos cómo están definidas la expresión |x-2| y la
expresión sg (x):
|-x+2 si x<2
|x-2| = |
| x-2 si x>=2
|-1 si x<0
sg(x) = | 0 si x=0
| 1 si x>0
Tenemos entonces tres intervalos en los cuales se produce un cambio en la expresión de f(x):
x < 0 0 < x < 2 x > 2
---------|-----------|--------->
0 2
Veamos a qué es igual f en cada uno de estos intervalos:
Si x < 0 f1(x) = -x+2
Si 0 < x < 2 f3(x) = (-x+2)ex
Si x > 2 f5(x) = (x-2)ex
En x = 0: f(0) = 2
En x = 2: f(2) = 0
Pongamos sobre un eje el signo de f1, f2 y f3,
más el signo de f en 0 y 2:
+ + + 0 +
-------|-------|------->
0 2
Por lo tanto el signo de f es:
+ 0 +
sg f -------|------->
2
|
|
Podemos tachar el área debajo del eje ox, ya que la función no tiene valores negativos.
|
Asíntotas horizontales y oblicuas
lim (x-2)ex = +inf
x->+inf
(x-2)ex xex
lim ------- = lim ----- = +inf
x->+inf x x->+inf x
DA || oy para x->+inf
lim -x+2 = +inf
x->-inf
-x+2
lim ---- = -1
x->-inf x
lim -x+2 + x = 2
x->-inf
AO: y = -x + 2 para x->-inf
|
|
DA paralela al eje oy para x->+inf.
AO: y = -x + 2 para x->-inf.
|
Derivada primera
Hallamos la derivada de cada una de las tres funciones anteriores:
Si x < 0 f'1(x) = -1
Si 0 < x < 2 f'2(x) = ex(1-x)
Si x > 2 f'3(x) = ex(x-1)
- + 0 - +
sg f' -----|-----|-----|----->
0 1 2
Para saber si f es derivable en 0 y en 2, hallamos los límites laterales de las derivadas en
cada uno de esos puntos. Si son diferentes, f no es derivable en el punto.
lim f'1(x) = -1 |
x->0- | => f no es derivable en 0
|
lim f'2(x) = 1 |
x->0+
lim f'2(x) = -2e2 |
x->2- | => f no es derivable en 2
|
lim f'3(x) = e2 |
x->2+
f(1) = e
Máximo en (1,e)
f(0) = 2
Punto singular en (0,2)
f(2) = 0
Punto singular en (2,0)
lim ex(1-x) = 1
x->0+
lim -1 = -1
x->0-
=> (0,2) es un punto anguloso.
Tangente por la derecha: y = x + 2.
Tangente por la izquierda: y = -x + 2.
lim ex(x-1) = e2
x->2+
lim ex(1-x) = -e2
x->2-
=> (2,0) es un punto anguloso.
Tangente por la derecha: y = e2x - 2e2.
Tangente por la izquierda: y = -e2x + 2e2.
- E + 0 - E +
sg f' -----|-----|-----|----->
0 1 2
|
|
Máximo en (1,e).
Punto anguloso en (0,2).
- Tangente por la derecha: y = x + 2.
- Tangente por la izquierda: y = -x + 2.
Punto anguloso en (2,0).
- Tangente por la derecha: y = e2x - 2e2.
- Tangente por la izquierda: y = -e2x + 2e2.
|
Derivada segunda
f1''(x) = 0 para x < 0
f2''(x) = -exx para 0 < x < 2
f3''(x) = ex(x-1) + ex para x > 2
0 E - E +
sg f'' -----|-----|----->
0 2
Observar que la derivada segunda es 0 para todos los x menores que 0, lo que indica que la función es
lineal en ese intervalo.
En este punto deberíamos corregir la información de la concavidad en nuestro
gráfico.
Veamos ahora la gráfica exacta de la función, obtenida utilizando software
matemático:
