Estudio analítico 2
Es difícil, si no imposible, aprender un tema tan sólo leyéndolo, sin aplicar la información a problemas específicos que fuercen al lector a pensar en lo que ha leído. Además se aprenden mejor aquellas cosas que uno descubre por sí mismo.
Donald Knuth.

 

Estudio analítico y representación gráfica de f(x) = ex(1-x) - 1.

Para conocer los detalles del procedimiento que seguiremos, ir a la página sobre estudio analítico y representacion gráfica de funciones.

  1. Dominio

    f(x) no tiene ningún denominador, ninguna raíz y ningún logaritmo, por lo tanto existe para todo x real.

    Dominio de f: R

  2. Continuidad y asíntotas verticales

    f(x) es continua para todo x real.

  3. Ceros y signo

    Debemos resolver la ecuación f(x)=0.
    Es decir, debemos resolver

    ex(1-x) = 1 => ex = 1 y 1 - x = 1 => x = 0

    La única raíz de la función es 0.

    Para determinar el signo de f a izquierda y derecha de 0, simplemente evaluamos f en algún punto de esos intervalos, como 1 y -1.

            -   0   - 
    sg f -------|------->
                0
    
  4. Asíntotas horizontales y oblicuas

                               0 por órdenes de infinitos
                IND. 0.inf   --^--        
                    |        (1-x)      
    lim ex(1-x) - 1 = lim    ----- - 1 = -1
    x->-inf           x->-inf 1/ex      
    

    Asíntota horizontal y=-1 para x->-inf

    lim f(x) = -inf
    x->+inf                                              
                                             -1      0+
                                      +inf  --^--   -^-      
          f(x)       ex(1-x) - 1       -^-  (1-x)    1
    lim   ---- = lim ----------- = lim  ex. ----- - --- =        
    x->+inf x    x->+inf   x       x->+inf    x      x
    
    = -inf    
    

    DA || oy para +inf

    Comencemos a representar la información obtenida hasta ahora:

        Tachamos el área por encima del eje ox, pues f es negativa, salvo en x=0 donde vale 0.
    Asíntota horizontal y=-1 para x->-inf.
    DA paralela al eje oy para +inf.
  5. Derivada primera

    f'(x) = ex(1-x) - ex = -xex

         
            +  0  -
    sg f' -----|----->      
               0
             máximo	        
    

    f(0) = 0
    Máximo en (0,0)

  6. Derivada segunda

    f''(x) = -ex - xex = -ex(x+1)

             +  0  -  
    sg f'' -----|----->
               -1  
          	punto de inflexión	   
                    ~
    f(-1) = 2/e - 1 = -0.26

    Punto de inflexión en (-1, -0.26)

    Tangente en el punto:
    y = f'(-1)(x+1) + f(-1) = 1/e(x+1) + 2/e - 1 = (1/e)x + 3/e - 1

        Máximo en (0,0)
    Punto de inflexión en (-1,-0.26)
    Tangente: y = (1/e)x + 3/e - 1

Veamos la gráfica exacta de la función para compararla con nuestra representación:


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Cálculo > Análisis y representación > Ejercicios
f(x) = ex(1-x) - 1
f(x) = |x-2|e(1 + sg x)x/2
f(x) = L2|x| - (x-1)2/2
f(x) = 2L(1+x) - x/(1+x)
f(x) = Lx + L|x-1| + (x2+1)/2 - 2x + 1
f(x) = |xL|x|| - |1-x2|/4
f(x) = (2L|x| + 1)/(L|x| + 1) - x/4e


Última modificación: noviembre 2004
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