No desees que las cosas sean más fáciles, desea ser mejor; no desees menos problemas, desea tener más habilidad para resolverlos; no desees que eliminen pruebas en tu camino, sino desea superarlas.
Mr. Shoaff.

 

Estudio analítico y representación gráfica de f(x) = 2L(1+x) - x/(1+x).

Para conocer los detalles del procedimiento que seguiremos, ir a la página sobre estudio analítico y representacion gráfica de funciones.

  1. Dominio

    El logaritmo está definido para argumentos mayores que 0, es decir, para x mayores que -1, y el denominador (1+x) no está definido en x=-1.

    Dominio de f: {x/x pertenece a R ^ x>-1}

  2. Continuidad y asíntotas verticales

                                (IND. 0.inf que se resuelve
                                 por órdenes de infinitos)  
                                       0                  
        -inf      -inf            -----^-----     
        ---^---   ---^---         2(1+x)L(1+x) - x    1
    lim 2L(1+x) - x/(1+x)  =  lim ---------------- = --- = +inf
    x->-1+                 |  x->-1+    1+x           0+
                           |
                      (IND. inf-inf)  
    

    => AV x=-1

  3. Ceros y signo

    Pasaremos por alto este paso pues la ecuación f(x)=0 es difícil de resolver. Utilizaremos el método de Rolle para aproximar las raíces, luego de que contemos con la información de los ceros y el signo de la derivada primera.

  4. Asíntotas horizontales y oblicuas

                      1   
                   ---^---
    lim 2L(1+x) -  x/(1+x) = +inf               
    x->+inf          
              0       0
           ---^---   -^-
           2L(1+x)    x
    lim    ------- - --- = 0 => DA || ox
    x->+inf   x      1+x 
    
        Dominio de f: x>-1.
    AV x=-1.
    DA paralela al eje ox para x->+inf.
  5. Derivada primera

             2      (1+x-x)    2x+1
    f'(x) = ---- -  ------- = ------
            1+x      (1+x)2   (1+x)2
    
                   E  -  0  +   
    sg f' -/-/-/-/-|-----|----->
                  -1   -1/2
                        min
    
    
    f(-1/2) = -0.39
    Mínimo en (-0.5, -0.39)

    Ceros y signo

    f es negativa en -1/2
    f tiende a +inf cuando x->+inf, así que es positiva para x grandes.
    f tiende a +inf cuando x->-1+, así que es positiva a la derecha de -1.
    Coloquemos esta información sobre un eje:
                  E  +  -   +   
    sg f -/-/-/-/-|-----|----->
                 -1   -1/2
    
    Como f es decreciente en (-1,-1/2), tiene exactamente una raíz en ese intervalo.
    f es creciente para x mayores que -1/2, así que tiene exactamente una raíz mayor que -1/2.
                  E + 0 - - - 0 +    
    sg f -/-/-/-/-|---|---|---|--->
                 -1   α -1/2  β  
    

    Trataremos de hallar o aproximar α y β:

            ~
    f(-0.7) = -0.075 |    ~     
            ~         > α = -0.75
    f(-0.8) = -1.17  |
           
    f(0)=0 => β = 0 
    
    
  6. Derivada segunda

             2(1+x)2 - (2x+1)2(1+x)  (1+x)[2(1+x) - 2(2x+1)] 
    f''(x) = --------------------- = ----------------------- =  
                   (1+x)4                    (1+x)4
     -2x
    -----
    (1+x)3
    
                    E  +  0  -
    sg f'' -/-/-/-/-|-----|----->
                   -1     0
                          PI 
    

    f(0) = 0
    f'(0) = 1
    Punto de inflexión en (0,0).
    Tangente en el punto: y = x.

        Raíces: -0.75 y 0.
    Mínimo en (-0.5, -0.39).
    Punto de inflexión en (0,0).
    - Tangente en el punto: y=x.

Finalmente, verifiquemos nuestro análisis observando la gráfica precisa de la función:


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f(x) = ex(1-x) - 1
f(x) = |x-2|e(1 + sg x)x/2
f(x) = L2|x| - (x-1)2/2
f(x) = 2L(1+x) - x/(1+x)
f(x) = Lx + L|x-1| + (x2+1)/2 - 2x + 1
f(x) = |xL|x|| - |1-x2|/4
f(x) = (2L|x| + 1)/(L|x| + 1) - x/4e


Última modificación: noviembre 2004
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