Pocas cosas facilitan tanto la concentración mental como la necesidad de expresarse con precisión. Esta necesidad lo pone a uno cara a cara con el tema que está tratando; con lo que en realidad está proponiendo, y evita caer en las frases trilladas que no sólo sustituyen al pensamiento, sino que lo imposibilitan.
Edwin Newman.
 

Ejercicios de límites

  1.      -3x2 + 2x - 5
lim  --------------
x->-inf   x3 - 1


         -3x2 + 2x - 5          -3x2          -3
lim  -------------- = lim  ------ = lim   --- = 0
x->-inf  x3 - 1       x->-inf  x3   x->-inf x

  2.       _____     __
    \|2 + x - \|2
lim -------------
x->0     x

    Indeterminación 0/0
      _____     __          _____     __    _____     __
    \|2 + x - \|2         \|2 + x - \|2  (\|2 + x + \|2 )
lim -------------  = lim -------------------------------- =
x->0     x           x->0             _____     __
                                 x( \|2 + x + \|2  )

       2 + x - 2                    1             1
lim ------------------ = lim   ------------- =  -----
x->0     _____     __    x->0    _____     __      __
     x(\|2 + x + \|2 )        (\|2 + x + \|2 )  2\|2

  3.      x3 - 3x + 2
lim -------------
x->1  x2 + x - 2


    Indeterminación 0/0

     x3 - 3x + 2        (x - 1)(x - 1)(x - 2)
lim ------------- = lim --------------------- = 0
x->1  x2 + x - 2    x->1   (x - 1)(x + 2)

Ruffini: 

    

    

    



    

     10-32
    

    1 11-2
    

     11-20
    

    1 12 
    

     120 
    

    -2 -2  
    

     10  
    

     

    		




    

     11-2
    

    1 12
    

     120
    

    -2 -2 
    

     10 
    

     

    		

    

    

    

  4.       x3 + 4x2
lim  -----------
x->0+  x4 - 2x2

    Indeterminación 0/0

      x3 + 4x2           x2(x + 4)       4
lim  ----------- = lim ------------- = --- = -2
x->0+  x4 - 2x2    x->0+  x2(x2 - 2)    -2

  5.      L(x - 1)
lim --------- 
x->2 ex-2 - 1

    Indeterminado 0/0

     equiv. a x - 2
     ---^--- 
     L(x - 1)        x - 2
lim --------- = lim  ----- = 1     por límites tipo
x->2 ex-2 - 1   x->2  x - 2        (también se resuelve
     ---^---                        aplicando L'Hôpital)
     equiv. a x - 2

  6.        31/x - 1
lim    -----------
x->+inf 51/x - 1

    Indeterminación 0/0

       equiv. a (1/x)L3
       ---^---
       31/x - 1              (1/x)L3    L3
lim    ----------  =  lim   ------- =  ---- = log53
x->+inf 51/x - 1      x->+inf (1/x)L5   L5
        ---^---                                por límites tipo
        equiv. a (1/x)L5

  7.     3sen4x
lim -------
x->0  2x

    Indeterminado 0/0

  equiv. a 4x
     --^--  
    3sen4x       3.4x
lim ------- = lim ---- = 6  por límites tipo
x->0  2x     x->0  2x

  8.     1 - cos3x
lim ---------
x->0   x2

    Indeterminado 0/0

    equiv. a (3x)2/2
    ----^----
    1 - cos3x        (3x)2      9
lim --------- = lim ------- =  ---  por límites tipo       
x->0    x2      x->0  2x2       2

  9.     sen3x + tg2x
lim ------------
x->0     x

    Indeterminado 0/0

equiv. a 3x  equiv. a 2x
     --^--   --^--
     sen3x + tg2x        3x + 2x       5x
lim ------------ = lim  ------- = lim ---- = 5  por límites tipo
x->0     x         x->0    x      x->0  x

  10. lim ((x - 1)/(x + 3))x+2
x->+inf

    Indeterminado 1inf
                     
                            lim (x + 2)((x - 1)/(x + 3) - 1)
lim ((x - 1)/(x + 3))x+2 = e x->+inf                        =
x->+inf

 lim (x + 2)(x - 1 - x - 3)/(x + 3)   lim -4(x + 2)/(x + 3)
e x->+inf                          = e x->+inf             =

 lim -4x/x    -4
e x->+inf  = e  = 1/e4

  11. lim xLx
x->0+ 

    Indeterminado 0.inf

                Lx
lim xLx = lim ----- = 0-  por órdenes de infinitos
x->0+     x->0+ 1/x

  12.       ex - e
lim ---------
x->1  x2 - 1

    Indeterminación 0/0

      ex - e          ex    e
lim --------- = lim ---- = ---  por L'Hôpital
x->1  x2 - 1   x->1  2x     2

También:
                       equiv. a (x-1)
                        ----^----           
      ex - e          e(ex - 1 - 1)           e(x - 1)        e
lim --------- = lim  -------------- = lim   -------------- = ---
x->1  x2 - 1    x->1     x2 - 1       x->1  (x - 1)(x + 1)    2

                                                   por límites tipo

  13. lim (1 + 2/x)x
x->+inf

    Indeterminado 1inf

                   lim x(2/x)   2
lim (1 + 2/x)x = e x->+inf   = e
x->+inf

  14.      L(Lx)
lim -------
x->e x - e

    Indeterminación 0/0

     L(Lx)           1        1
lim ------- = lim  ------  = ---  por L'Hôpital
x->e x - e    x->e (Lx)x      e

También:

   equiv. a Lx - 1                           equiv. a x/e - 1
     --^--                                       --^--
     L(Lx)         Lx - 1         Lx - Le        L(x/e)
lim ------- = lim -------- = lim -------- = lim ------- =
x->e x - e    x->e  x - e    x->e  x - e  |  x->e x - e
                                          |
      x - e     1                       La - Lb = L(a/b)
lim -------- = ---  por límites tipo
x->e e(x - e)   e

  15.         x - 1
lim (Lx) 
x->1+    

    Indeterminación 00

                           (IND. 0.inf)
                                 |            L(Lx)
        x - 1    lim (x - 1)L(Lx) |    lim  ----------     0
lim (Lx)    = e x->1+            = e  x->1+ 1/(x - 1)  = e  = 1
x->1+
                                           por órdenes de infinitos

    Propiedades útiles de los logaritmos

    log(a/b) = log a - log b      

log a.b = log a + log b

log(a - b) = log(a/eb)          

log ak = klog a

          logc a
logb a = ---------
          logc b

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Última modificación: noviembre 2004
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