Pocas cosas facilitan tanto la concentración mental como la necesidad de expresarse con precisión. Esta necesidad lo pone a uno cara a cara con el tema que está tratando; con lo que en realidad está proponiendo, y evita caer en las frases trilladas que no sólo sustituyen al pensamiento, sino que lo imposibilitan.
Edwin Newman.

 

Ejercicios de límites

  1.      -3x2 + 2x - 5
    lim  --------------
    x->-inf   x3 - 1
    
    
         -3x2 + 2x - 5          -3x2          -3
    lim  -------------- = lim  ------ = lim   --- = 0
    x->-inf  x3 - 1       x->-inf  x3   x->-inf x
    
  2.       _____     __
        \|2 + x - \|2
    lim -------------
    x->0     x
    
    Indeterminación 0/0
          _____     __          _____     __    _____     __
        \|2 + x - \|2         \|2 + x - \|2  (\|2 + x + \|2 )
    lim -------------  = lim -------------------------------- =
    x->0     x           x->0             _____     __
                                     x( \|2 + x + \|2  )
    
           2 + x - 2                    1             1
    lim ------------------ = lim   ------------- =  -----
    x->0     _____     __    x->0    _____     __      __
         x(\|2 + x + \|2 )        (\|2 + x + \|2 )  2\|2
    
  3.      x3 - 3x + 2
    lim -------------
    x->1  x2 + x - 2
    
    
    Indeterminación 0/0
    
         x3 - 3x + 2        (x - 1)(x - 1)(x - 2)
    lim ------------- = lim --------------------- = 0
    x->1  x2 + x - 2    x->1   (x - 1)(x + 2)
    
    Ruffini: 
    
     10-32
    1 11-2
     11-20
    1 12 
     120 
    -2 -2  
     10  
     11-2
    1 12
     120
    -2 -2 
     10 
  4.       x3 + 4x2
    lim  -----------
    x->0+  x4 - 2x2
    
    Indeterminación 0/0
    
          x3 + 4x2           x2(x + 4)       4
    lim  ----------- = lim ------------- = --- = -2
    x->0+  x4 - 2x2    x->0+  x2(x2 - 2)    -2
    
  5.      L(x - 1)
    lim --------- 
    x->2 ex-2 - 1
    
    Indeterminado 0/0
    
         equiv. a x - 2
         ---^--- 
         L(x - 1)        x - 2
    lim --------- = lim  ----- = 1     por límites tipo
    x->2 ex-2 - 1   x->2  x - 2        (también se resuelve
         ---^---                        aplicando L'Hôpital)
         equiv. a x - 2
    
  6.        31/x - 1
    lim    -----------
    x->+inf 51/x - 1
    
    Indeterminación 0/0
    
           equiv. a (1/x)L3
           ---^---
           31/x - 1              (1/x)L3    L3
    lim    ----------  =  lim   ------- =  ---- = log53
    x->+inf 51/x - 1      x->+inf (1/x)L5   L5
            ---^---                                por límites tipo
            equiv. a (1/x)L5
    
  7.     3sen4x
    lim -------
    x->0  2x
    
    Indeterminado 0/0
    
      equiv. a 4x
         --^--  
        3sen4x       3.4x
    lim ------- = lim ---- = 6  por límites tipo
    x->0  2x     x->0  2x
    
  8.     1 - cos3x
    lim ---------
    x->0   x2
    
    Indeterminado 0/0
    
        equiv. a (3x)2/2
        ----^----
        1 - cos3x        (3x)2      9
    lim --------- = lim ------- =  ---  por límites tipo       
    x->0    x2      x->0  2x2       2
    
  9.     sen3x + tg2x
    lim ------------
    x->0     x
    
    Indeterminado 0/0
    
    equiv. a 3x  equiv. a 2x
         --^--   --^--
         sen3x + tg2x        3x + 2x       5x
    lim ------------ = lim  ------- = lim ---- = 5  por límites tipo
    x->0     x         x->0    x      x->0  x
    
  10. lim ((x - 1)/(x + 3))x+2
    x->+inf
    
    Indeterminado 1inf
                         
                                lim (x + 2)((x - 1)/(x + 3) - 1)
    lim ((x - 1)/(x + 3))x+2 = e x->+inf                        =
    x->+inf
    
     lim (x + 2)(x - 1 - x - 3)/(x + 3)   lim -4(x + 2)/(x + 3)
    e x->+inf                          = e x->+inf             =
    
     lim -4x/x    -4
    e x->+inf  = e  = 1/e4
    
  11. lim xLx
    x->0+ 
    
    Indeterminado 0.inf
    
                    Lx
    lim xLx = lim ----- = 0-  por órdenes de infinitos
    x->0+     x->0+ 1/x
    
  12.       ex - e
    lim ---------
    x->1  x2 - 1
    
    Indeterminación 0/0
    
          ex - e          ex    e
    lim --------- = lim ---- = ---  por L'Hôpital
    x->1  x2 - 1   x->1  2x     2
    
    También:
                           equiv. a (x-1)
                            ----^----           
          ex - e          e(ex - 1 - 1)           e(x - 1)        e
    lim --------- = lim  -------------- = lim   -------------- = ---
    x->1  x2 - 1    x->1     x2 - 1       x->1  (x - 1)(x + 1)    2
    
                                                       por límites tipo
    
  13. lim (1 + 2/x)x
    x->+inf
    
    Indeterminado 1inf
    
                       lim x(2/x)   2
    lim (1 + 2/x)x = e x->+inf   = e
    x->+inf
    
  14.      L(Lx)
    lim -------
    x->e x - e
    
    Indeterminación 0/0
    
         L(Lx)           1        1
    lim ------- = lim  ------  = ---  por L'Hôpital
    x->e x - e    x->e (Lx)x      e
    
    También:
    
       equiv. a Lx - 1                           equiv. a x/e - 1
         --^--                                       --^--
         L(Lx)         Lx - 1         Lx - Le        L(x/e)
    lim ------- = lim -------- = lim -------- = lim ------- =
    x->e x - e    x->e  x - e    x->e  x - e  |  x->e x - e
                                              |
          x - e     1                       La - Lb = L(a/b)
    lim -------- = ---  por límites tipo
    x->e e(x - e)   e
    
  15.         x - 1
    lim (Lx) 
    x->1+    
    
    Indeterminación 00
    
                               (IND. 0.inf)
                                     |            L(Lx)
            x - 1    lim (x - 1)L(Lx) |    lim  ----------     0
    lim (Lx)    = e x->1+            = e  x->1+ 1/(x - 1)  = e  = 1
    x->1+
                                               por órdenes de infinitos
    

    Propiedades útiles de los logaritmos

    log(a/b) = log a - log b      
    
    log a.b = log a + log b
    
    log(a - b) = log(a/eb)          
    
    log ak = klog a
    
              logc a
    logb a = ---------
              logc b   
    

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Última modificación: noviembre 2004
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