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Límites de polinomios

Límite de un polinomio

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀

1) lim_x->b P(x) = P(b)

Ejemplo: lim_x->1 x² + 2x - 1 = 2

2) lim_x->inf P(x) = lim_x->inf a_nxⁿ

limx->inf P(x) = limx->inf anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 =

              0      0          0      0
            --^--  --^--      --^--  --^--
    anxn(1 + an-1 + an-2 + ... + a1  +  a0 ) = lim anxn
lim          ---    ---        ---     ---    x->inf
x->inf       anx    anx2       anxn-1  anxn

Ejemplo: lim_x->+inf x² - 2x - 1 = lim_x->+inf x² = +inf

Límite del cociente de polinomios

A(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀
B(x) = b_nxⁿ + b_n-1x^n-1 + ... + b₁x + b₀

     A(x)    |    A(α)
lim  ---- =  | 1) ----  si B(α) distinto de 0
x->α B(x)    |    B(α)
             | 2) inf si B(α)=0 y A(α) distinto de 0
             | 3) INDETERMINADO de la forma 0/0 
             |    si B(α)=0 y A(α)=0

Ejemplo:

     2x2 + x + 1    4
lim  ----------- = -- = 2
x->1 x2 + 2x - 1    2

	x2 + 1
lim  ------------ = +inf
x->1  x2 + x - 2

      x2 - 1
lim -----------   INDETERMINADO de la forma 0/0
x->1 x2 + x - 2

Cómo resolver la indeterminación 0/0

B(α) = 0 => α es raíz de B(x) => (por teo. de Descartes) (x - α) | B(x)
( (x - α) divide a B(x) ) => existe B₁(x) / B(x) = (x - α)B₁(x)

A(α) = 0 => α es raíz de A(x) => (por teo. de Descartes) (x - α) | A(x) => existe A₁(x) / A(x) = (x - α)A₁(x)

       A(x)        (x - α)A1(x)   A1(α)
=> lim ---- = lim ------------ = ------
   x->α B(x)  x->α (x - α)B1(x)   B1(α) 

Ejemplo

      x2 - 1          (x - 1)(x + 1)   2
lim ----------- = lim -------------- = --
x->1 x2 + x - 2   x->1 (x - 1)(x + 2)   3

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